Задача двух тел. Холшевников К.В - 61 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Подставляя во второе из равенств (2.12), получаем квадратное
уравнение
x
2
− Bx − C = 0, (2.14)
где
B = 1 −(z
2
3
+ z
2
4
) +2(h
0
+ z
5
)(z
2
1
+ z
2
2
), C = 2(h
0
+ z
5
)(z
1
z
3
+ z
2
z
4
)
2
,
D = B
2
+ 4C = 1 − 2
(z
2
3
+ z
2
4
) −2(h
0
+ z
5
)(z
2
1
+ z
2
2
)
+
n
(z
2
3
+ z
2
4
)
2
+
4(h
0
+z
5
)
2
(z
2
1
+z
2
2
)
2
−4(h
0
+z
5
)
(z
2
1
+z
2
2
)(z
2
3
+z
2
4
)−2(z
1
z
2
+z
3
z
4
)
2
o
.
Определим x как следующее решение (2.14):
x =
1
2
(B +
√
D),
откуда
g =
r
1
2
(B +
√
D) −1, f = −(z
1
z
3
+ z
2
z
4
)
s
2
B +
√
D
. (2.15)
Фиксируем точку z = (z
1
, . . . , z
5
) ∈ R
5
из произвольного достаточно
малого шара
z
2
1
+ . . . + z
2
5
< ε
2
. (2.16)
Тогда B = 1 + O(ε
2
), C = O(ε
2
), D = 1 + O(ε
2
), f и g вещественны,
причем f = O(ε
2
), g = O(ε
2
).
Отсюда вытекает, что любой точке z = (z
1
, . . . , z
5
) ∈
R
5
из достаточно малого шара (2.16) соответствует точка
E(c
1
, c
2
, c
3
; e
1
, e
2
, e
3
; h) ∈ H с координатами (2.11), причем из z → 0
(в смысле евклидовой метрики R
5
) вытекает E → E
0
(в смысле мет-
рики %
1
). Обратно, каждой близкой к E
0
(в смысле метрики %
1
)
точке E ∈ H соответствует точка z = (c
1
, c
2
, e
1
, e
2
, h − h
0
) ∈ R
5
,
причем из E → E
0
(в смысле метрики %
1
) вытекает z → 0 (в смысле
евклидовой метрики R
5
). Непрерывность в обе стороны зависимо-
сти (c, e, h) ←→ z завершает доказательство.
Теорема 5
Пространство H полно.
61

Страницы