Задача двух тел. Холшевников К.В - 65 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

первый из которых — посторонний, а второй отвечает трансвер-
сальному пересечению параболы и гиперболы.
Пример 3. Пусть e
1
= e
2
= 1, g
1
= g
2
= 0.
Тогда A = p
2
− p
1
, B = 0, C = p
1
− p
2
, откуда cos u = −1, что
отвечает двойному постороннему корню u = π.
Пример 4. Пусть E
1
, E
2
— изображенные на рис. 2.5 вместе с
охватывающими лучами асимптот компланарные гиперболические
орбиты;
e
1
> 1, g
1
= 0, 0 < g
2
< arcsin(1/e
1
), arccos(1/e
2
) = g
2
+arccos(1/e
1
) ,
a
1
q
e
2
1
− 1 = a
2
q
e
2
2
− 1 .
Согласно задаче 1.27 угол ϕ
1
равен arccos(1/e
1
). Угол ϕ
2
ра-
вен ϕ
1
+ g
2
= arccos(1/e
2
). В частности, ϕ
1
< ϕ
2
< arccos(1/e
1
) +
arcsin(1/e
1
) = π/2, так что ϕ
2
— острый угол, больший ϕ
1
; e
2
> e
1
.
Из треугольника OC
1
C
2
по теореме синусов
OC
2
=
sin ϕ
1
sin ϕ
2
OC
1
=
e
2
p
e
2
2
− 1
|a
1
|
q
e
2
1
− 1 ,
поскольку OC
1
= |a
1
|e
1
. Условие на большие полуоси показывает,
что OC
2
= |a
2
|e
2
. Таким образом, C
2
— центр гиперболы E
2
. Итак,
луч C
1
C
2
— общая асимптота гипербол E
1
, E
2
. Вторые асимптоты
пересекаются, поскольку ϕ
2
> ϕ
1
.
Определим коэффициенты уравнения (2.18):
cos g
2
=
1 +
p
(e
2
2
− 1)(e
2
1
− 1)
e
1
e
2
, sin g
2
=
ξ
e
1
e
2
,
A=
|a
1
|ξ
e
1
q
e
2
1
− 1 , B =−
|a
1
|ξ
e
1
(e
2
1
− 1) , C =−|a
1
|ξ
q
e
2
1
− 1 , D =C
2
,
где ξ =
p
e
2
2
− 1 −
p
e
2
1
− 1.
Таким образом, уравнение (2.18) имеет двойной посторонний ко-
рень
u = π − ϕ
1
= π − arccos(1/e
1
) .
Имеют ли посторонние корни какой-либо геометрический
смысл? Безусловно.
65

Страницы