Методы факторизации натуральных чисел. Ишмухаметов Ш.Т. - 40 стр.

                                                                       41

      В 1997 г. Дезуйе, Эффингер, Тэ Риле и Зиновьев показали, что
обобщённая гипотеза Римана влечёт справедливость слабой проблемы
Гольдбаха. Они доказали её справедливость для чисел превышающих
1020 , в то время как справедливость утверждения для меньших чисел
легко устанавливается на компьютере. Таким образом, тернарная проблема
Гольдбаха решена полностью.
      Бинарная проблема Гольдбаха остается, по-прежнему, далекой от
решения. Виноградов в 1937 г. и Теодор Эстерманн в 1938 г. показали, что
почти все чётные числа представимы в виде суммы двух простых чисел (доля
не представимых, если они есть, стремится к нулю). Этот результат немного
усилен в 1975 г. Х. Монтгомери (H. Montgomery) и Р.Ч. Воном (R.C. Vaugh-
an). Они показали, что существуют положительные константы c и C, такие
что количество чётных чисел, не больших N, не представимых в виде суммы
двух простых чисел, не превышает C · N 1−c .
      В 1939 г. Шнирельман доказал, что любое чётное число представимо
в виде суммы не более 300 000 простых чисел. Этот результат многократно
улучшался. В 1995 г. Ремер (Ramare) доказал, что любое чётное число —
сумма не более 6 простых чисел.
      В 1966 г. Чэнь Цзинжунь (Chen Jingrun) доказал, что любое достаточно
большое чётное число представимо или в виде суммы двух простых чисел,
или же в виде суммы простого числа и полупростого (произведения двух
простых чисел). Например, 100 = 23 + 7 · 11.
      На июль 2008 г. бинарная гипотеза Гольдбаха была проверена для всех
чётных чисел, не превышающих 1, 2 · 1018 .
      Бинарная гипотеза Гольдбаха может быть переформулирована
как утверждение о неразрешимости диофантова уравнения 4-й степени
некоторого специального вида.

Гипотеза о бесконечности пар простых чисел–близнецов

      Близнецами (twins) называются пары, состоящие из простых чисел,
разность которых равна 2. Неизвестно, является ли число таких пар