Методы факторизации натуральных чисел. Ишмухаметов Ш.Т. - 41 стр.

                                                                           42

конечным или бесконечным. Также неизвестна формула числа таких пар на
начальном отрезке натурального ряда длины X .
      Примерами пар близнецов являются пары (3, 5), (101, 103) и пара
(65 516 468 355 · 2333 333 ± 1). Последняя пара является самой большой
из известных на сегодняшний день пар близнецов. Отметим, что «троек»
простых чисел с расстоянием 2 известна только одна – (3, 5 7).
      Значительный шаг к решению проблемы близнецов сделали в 2005 г.
Ден Голдстоун, Янос Пинц и Ким Ялдрим (Dan Goldston, Janos Pintz and
Cem Yildirim), которые доказали формулу
                     pn+1 − pn
           lim inf             = 0,                                  (1.17)
                       log pn
где pn –обозначает n–е простое число. Этот результат означает, что для
любого сколь угодно малого ε и сколь угодно большого x найдется номер
n > x такой, что pn+1 − pn < ε · log pn , откуда следует, что функция
f (x) = min{pn+1 − pn | pn > x} возрастает медленнее, чем функция log x.
      Это доказательство опубликовано в электронном архиве Front
For ArXiv и в статье «Are there infinitely many twin primes?» на сайтах
http://front.math.ucdavis.edu/0710.2728 и http://www.math.sjsu.edu/ gold-
ston/twinprimes.pdf
      Впрочем пока этот интересный результат не будет опубликован
в солидном математическом издании, его нельзя считать полностью
достоверным.


1.18. Великая теорема Ферма
     Великой или последней теоремой Ферма называется утверждение о том,
что уравнение

               xn + y n = z n                                        (1.18)

не имеет решения в целых числа при n ≥ 3.
      В общем виде теорема была сформулирована Пьером Ферма в 1637 г.
на полях «Арифметики» Диофанта: