Математика. Жулева Л.Д - 100 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

100 3. ëÏÎÔÒÏÌØÎÁÑ ÒÁÂÏÔÁ ½6
üÔÏÔ ÆÕÎËÃÉÏÎÁÌ ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔ ÄÌÉÎÕ ËÒÉ×ÏÊ, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÅÊ ÔÏÞËÉ (a, A) É
(b, B). çÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉ ÚÁÄÁÞÁ Ó×ÏÄÉÔÓÑ Ë ÒÁÚÙÓËÁÎÉÀ ËÒÁÔÞÁÊÛÅÊ ÌÉÎÉÉ,
ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÅÊ ÄÁÎÎÙÅ ÔÏÞËÉ.
òÅÛÅÎÉÅ. õÒÁ×ÎÅÎÉÅ üÊÌÅÒÁ y
00
(x) = 0, ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ y(x) = C
1
x + C
2
.
üËÓÔÒÅÍÁÌØ, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÁÑ ÇÒÁÎÉÞÎÙÍ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ, y(a) = A, y(b) = B
ÅÓÔØ ÐÒÑÍÁÑ, ÐÒÏÈÏÄÑÝÁÑ ÞÅÒÅÚ ÔÏÞËÉ (a, A) É (b, B):
y =
B − A
b −a
(x − a) + A.
IV. ðÕÓÔØ ÆÕÎËÃÉÑ F ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔ y. õÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÐÒÉÎÉÍÁÅÔ ×ÉÄ:
d
dx
F
0
y
0
= 0
É ÉÍÅÅÔ ÏÞÅ×ÉÄÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ F
0
y
0
= C
1
, ÇÄÅ C
1
¡ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÁÑ ÐÏÓÔÏÑÎÎÁÑ.
õÒÁ×ÎÅÎÉÅ F
0
y
0
= C ÅÓÔØ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ. éÎ-
ÔÅÇÒÉÒÕÑ ÅÇÏ, ÎÁÈÏÄÉÍ ÜËÓÔÒÅÍÁÌÉ ÚÁÄÁÞÉ.
ðÒÉÍÅÒ 6. óÒÅÄÉ ËÒÉ×ÙÈ, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÉÈ ÔÏÞËÉ A(1, 3) É B(2, 5), ÎÁÊÔÉ
ÔÕ, ÎÁ ËÏÔÏÒÏÊ ÍÏÖÅÔ ÄÏÓÔÉÇÁÔØÓÑ ÜËÓÔÒÅÍÕÍ ÆÕÎËÃÉÏÎÁÌÁ
J[y(x)] =
2
Z
1
y
0
(x)(1 + x
2
y
0
(x)) dx.
òÅÛÅÎÉÅ. ôÁË ËÁË F ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ y, ÔÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ üÊÌÅÒÁ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ
d
dx
F
y
0
(x, y
0
) = 0 ÉÌÉ
d
dx
(1 + 2x
2
y
0
) = 0, ÏÔËÕÄÁ
1 + 2x
2
y
0
= C
1
.
ôÏÇÄÁ y
0
=
C
1
−1
2x
2
, ÔÁË ÞÔÏ y(x) =
C
∗
1
x
+ C
2
, ÇÄÅ C
∗
1
=
1−C
1
2
.
ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÜËÓÔÒÅÍÁÌÑÍÉ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÅÍÅÊÓÔ×Ï ÇÉÐÅÒÂÏÌ. îÁÊÄÅÍ ÐÒÏ-
ÉÚ×ÏÌØÎÙÅ ÐÏÓÔÏÑÎÎÙÅ.
3 = C
∗
1
+ C
2
,
5 =
C
∗
1
2
+ C
2
,
ÏÔËÕÄÁ C
∗
1
= −4, C
2
= 7.
éÓËÏÍÁÑ ÜËÓÔÒÅÍÁÌØ
y(x) = 7 −
4
x
.
V. F ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ Ñ×ÎÏ ÏÔ x, Ô.Å. F = F (y, y
0
). ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ
üÊÌÅÒÁ ÐÒÉÎÉÍÁÅÔ ×ÉÄ:
F
y
− F
yy
0
y
0
− F
y
0
y
0
y
00
= 0,
100                                                      3. ëÏÎÔÒÏÌØÎÁÑ ÒÁÂÏÔÁ ½6

üÔÏÔ ÆÕÎËÃÉÏÎÁÌ ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔ ÄÌÉÎÕ ËÒÉ×ÏÊ, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÅÊ ÔÏÞËÉ (a, A) É
(b, B). çÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉ ÚÁÄÁÞÁ Ó×ÏÄÉÔÓÑ Ë ÒÁÚÙÓËÁÎÉÀ ËÒÁÔÞÁÊÛÅÊ ÌÉÎÉÉ,
ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÅÊ ÄÁÎÎÙÅ ÔÏÞËÉ.
    òÅÛÅÎÉÅ. õÒÁ×ÎÅÎÉÅ üÊÌÅÒÁ y 00 (x) = 0, ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ y(x) = C1x + C2.
    üËÓÔÒÅÍÁÌØ, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÁÑ ÇÒÁÎÉÞÎÙÍ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ, y(a) = A, y(b) = B
ÅÓÔØ ÐÒÑÍÁÑ, ÐÒÏÈÏÄÑÝÁÑ ÞÅÒÅÚ ÔÏÞËÉ (a, A) É (b, B):
                                 B−A
                           y=        (x − a) + A.
                                 b−a
     IV. ðÕÓÔØ ÆÕÎËÃÉÑ F ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔ y. õÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÐÒÉÎÉÍÁÅÔ ×ÉÄ:
                                       d 0
                                        F 0=0
                                      dx y
É ÉÍÅÅÔ ÏÞÅ×ÉÄÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ Fy0 0 = C1 , ÇÄÅ C1 ¡ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÁÑ ÐÏÓÔÏÑÎÎÁÑ.
õÒÁ×ÎÅÎÉÅ Fy0 0 = C ÅÓÔØ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ. éÎ-
ÔÅÇÒÉÒÕÑ ÅÇÏ, ÎÁÈÏÄÉÍ ÜËÓÔÒÅÍÁÌÉ ÚÁÄÁÞÉ.
   ðÒÉÍÅÒ 6. óÒÅÄÉ ËÒÉ×ÙÈ, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÉÈ ÔÏÞËÉ A(1, 3) É B(2, 5), ÎÁÊÔÉ
ÔÕ, ÎÁ ËÏÔÏÒÏÊ ÍÏÖÅÔ ÄÏÓÔÉÇÁÔØÓÑ ÜËÓÔÒÅÍÕÍ ÆÕÎËÃÉÏÎÁÌÁ
                                  Z2
                     J[y(x)] =         y 0 (x)(1 + x2y 0 (x)) dx.
                                  1

     òÅÛÅÎÉÅ. ôÁË ËÁË F ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ y, ÔÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ üÊÌÅÒÁ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ
 d
dx
                           d
     Fy0 (x, y 0) = 0 ÉÌÉ dx (1 + 2x2y 0 ) = 0, ÏÔËÕÄÁ

                                 1 + 2x2y 0 = C1 .
                                       ∗
              1 −1                 C1                1−C1
ôÏÇÄÁ y 0 = C2x                                  ∗
                2 , ÔÁË ÞÔÏ y(x) = x + C2 , ÇÄÅ C1 =   2 .
   ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÜËÓÔÒÅÍÁÌÑÍÉ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÅÍÅÊÓÔ×Ï ÇÉÐÅÒÂÏÌ. îÁÊÄÅÍ ÐÒÏ-
ÉÚ×ÏÌØÎÙÅ ÐÏÓÔÏÑÎÎÙÅ.            
                                   3 = C1∗ + C2,
                                         ∗
                                   5 = C21 + C2,
ÏÔËÕÄÁ C1∗ = −4, C2 = 7.
  éÓËÏÍÁÑ ÜËÓÔÒÅÍÁÌØ
                                       4
                            y(x) = 7 − .
                                       x
  V. F ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ Ñ×ÎÏ ÏÔ x, Ô.Å. F = F (y, y 0). ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ
üÊÌÅÒÁ ÐÒÉÎÉÍÁÅÔ ×ÉÄ:
                           Fy − Fyy0 y 0 − Fy0 y0 y 00 = 0,

Страницы