Математика. Жулева Л.Д - 99 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

3.3. ÷ÁÒÉÁÃÉÏÎÎÏÅ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÅ 99
ðÒÉÍÅÒ 4. éÓÓÌÅÄÏ×ÁÔØ ÎÁ ÜËÓÔÒÅÍÁÌÉ ÆÕÎËÃÉÏÎÁÌ:
J[y(x)] =
b
Z
a
M dx + N dy,
y(a) = A,
y(b) = B,
J[y(x)] =
b
Z
a
(y
2
+ 2xyy
0
) dx,
M = y
2
, N = 2xy.
òÅÛÅÎÉÅ. F ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ y
0
ÌÉÎÅÊÎÏ, ÉÍÅÅÍ:
∂M
∂y
= 2y,
∂N
∂x
= 2y.
∂M
∂y
−
∂N
∂x
≡ 0.
úÎÁÞÉÔ, ÐÏÄÙÎÔÅÇÒÁÌØÎÏÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ y
2
+2xyy
0
ÅÓÔØ ÐÏÌÎÙÊ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌ.
óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ÐÕÔÉ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ
J[y(x)] =
b
Z
a
(y
2
dx + 2xy dy) =
(b,B)
Z
(a,A)
d(xy
2
) = xy
2
x=b
x=a
= bB
2
− aA
2
ÐÏ ËÁËÏÊ ÂÙ ËÒÉ×ÏÊ y(x), ÐÒÏÈÏÄÑÝÅÊ ÞÅÒÅÚ ÔÏÞËÉ (a, A), (b, B), ÍÙ ÎÅ ÉÎ-
ÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÌÉ. ÷ÁÒÉÁÃÉÏÎÎÁÑ ÚÁÄÁÞÁ ÎÅ ÉÍÅÅÔ ÓÍÙÓÌÁ.
III. F ÚÁ×ÉÓÉÔ ÌÉÛØ ÏÔ y
0
, Ô.Å. F = F (y
0
). õÒÁ×ÎÅÎÉÅ üÊÌÅÒÁ ÐÒÉÎÉÍÁÅÔ
×ÉÄ:
F
0
y
= 0, F
0
y
0
= F
0
y
, F
00
y
0
x
= 0, F
00
y
0
y
= 0, F
00
y
0
y
0
= F
00
y
0
y
,
−F
00
y
0
y
0
y
00
= 0, y
00
= 0,
d
dx
y
0
= 0, y
00
= C.
y = C
1
x + C
2
,
Ô.Å. ÜËÓÔÒÅÍÁÌÑÍÉ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ×ÓÅ×ÏÚÍÏÖÎÙÅ ÐÒÑÍÙÅ ÌÉÎÉÉ, ÇÄÅ C
1
, C
2
¡
ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÅ ÐÏÓÔÏÑÎÎÙÅ.
ðÒÉÍÅÒ 5. îÁÊÔÉ ÜËÓÔÒÅÍÁÌÉ ÆÕÎËÃÉÏÎÁÌÁ
J[y(x)] =
b
Z
a
p
1 + y
02
dx,
y(a) = A
y(b) = B.
3.3. ÷ÁÒÉÁÃÉÏÎÎÏÅ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÅ                                                                         99

  ðÒÉÍÅÒ 4. éÓÓÌÅÄÏ×ÁÔØ ÎÁ ÜËÓÔÒÅÍÁÌÉ ÆÕÎËÃÉÏÎÁÌ:
                                  Zb
                                                                    y(a) = A,
                      J[y(x)] =          M dx + N dy,
                                                                    y(b) = B,
                                   a
                                              Zb
                              J[y(x)] =            (y 2 + 2xyy 0 ) dx,
                                              a
                                              2
                                    M =y ,           N = 2xy.
  òÅÛÅÎÉÅ. F ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ y 0 ÌÉÎÅÊÎÏ, ÉÍÅÅÍ:
                                  ∂M         ∂N
                                      = 2y,      = 2y.
                                  ∂y          ∂x
                                     ∂M ∂N
                                         −     ≡ 0.
                                     ∂y     ∂x
úÎÁÞÉÔ, ÐÏÄÙÎÔÅÇÒÁÌØÎÏÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ y 2 +2xyy 0 ÅÓÔØ ÐÏÌÎÙÊ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌ.
óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ÐÕÔÉ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ
                  Zb                               (b,B)
                                                   Z                           x=b
                        2                                      2           2
      J[y(x)] =        (y dx + 2xy dy) =                  d(xy ) = xy                = bB 2 − aA2
                                                                               x=a
                  a                               (a,A)

ÐÏ ËÁËÏÊ ÂÙ ËÒÉ×ÏÊ y(x), ÐÒÏÈÏÄÑÝÅÊ ÞÅÒÅÚ ÔÏÞËÉ (a, A), (b, B), ÍÙ ÎÅ ÉÎ-
ÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÌÉ. ÷ÁÒÉÁÃÉÏÎÎÁÑ ÚÁÄÁÞÁ ÎÅ ÉÍÅÅÔ ÓÍÙÓÌÁ.
   III. F ÚÁ×ÉÓÉÔ ÌÉÛØ ÏÔ y 0 , Ô.Å. F = F (y 0 ). õÒÁ×ÎÅÎÉÅ üÊÌÅÒÁ ÐÒÉÎÉÍÁÅÔ
×ÉÄ:
           Fy0 = 0,      Fy0 0 = Fy0 ,     Fy000x = 0,      Fy000 y = 0,       Fy000y0 = Fy000 y ,
                                  −Fy000 y0 y 00 = 0, y 00 = 0,
                                    d 0
                                         y = 0, y 00 = C.
                                   dx
                                       y = C1 x + C 2 ,
Ô.Å. ÜËÓÔÒÅÍÁÌÑÍÉ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ×ÓÅ×ÏÚÍÏÖÎÙÅ ÐÒÑÍÙÅ ÌÉÎÉÉ, ÇÄÅ C1, C2 ¡
ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÅ ÐÏÓÔÏÑÎÎÙÅ.
   ðÒÉÍÅÒ 5. îÁÊÔÉ ÜËÓÔÒÅÍÁÌÉ ÆÕÎËÃÉÏÎÁÌÁ
                                       Zb p
                                                                   y(a) = A
                       J[y(x)] =              1 + y 02 dx,
                                                                   y(b) = B.
                                       a

Страницы