Математика. Жулева Л.Д - 97 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

3.3. ÷ÁÒÉÁÃÉÏÎÎÏÅ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÅ 97
ôÅÏÒÅÍÁ. äÌÑ ÔÏÇÏ, ÞÔÏÂÙ ÆÕÎËÃÉÑ y(x), ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÏ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÕÅ-
ÍÁÑ ÎÁ [a, b] É ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÁÑ ÇÒÁÎÉÞÎÙÍ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ y(a) = A, y(b) = B,
ÄÏÓÔÁ×ÌÑÌÁ ÆÕÎËÃÉÏÎÁÌÕ:
J[y(x)] =
b
Z
a
F (x, y, y
0
) dx
ÜËÓÔÒÅÍÕÍ, ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ, ÞÔÏÂÙ ÜÔÁ ÆÕÎËÃÉÑ y(x) ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÌÁ ÕÒÁ×ÎÅ-
ÎÉÀ üÊÌÅÒÁ:
F
0
y
−
d
dx
F
0
y
0
= 0.
úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÜÔÏ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÂÙËÎÏ×ÅÎÎÙÍ
ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ ×ÔÏÒÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ. òÅÛÅÎÉÅ ÜÔÏÇÏ ÄÉÆÆÅÒÅÎ-
ÃÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ¡ ÆÕÎËÃÉÑ y(x) ¡ ÂÕÄÅÔ ÄÏÓÔÁ×ÌÑÔØ ÉÓÓÌÅÄÕÅÍÏÍÕ
ÆÕÎËÃÉÏÎÁÌÕ ÜËÓÔÒÅÍÕÍ.
ðÒÏÓÔÅÊÛÉÅ ÓÌÕÞÁÉ ÉÎÔÅÇÒÉÒÕÅÍÏÓÔÉ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ üÊÌÅÒÁ
I. F ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ y
0
: F = F (x, y).
÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ üÊÌÅÒÁ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ:
F
y
(x, y) = 0, (1)
Ô.Å. ÉÍÅÅÍ ËÏÎÅÞÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ; ÏÎÏ ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÐÒÏÉÚ×ÏÌÁ É ÐÏ-
ÜÔÏÍÕ ÎÅ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ × ÏÂÝÅÍ ÓÌÕÞÁÅ ÇÒÁÎÉÞÎÙÍ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ y(a) = A,
y(b) = B. ìÉÛØ × ÉÓËÌÀÞÉÔÅÌØÎÙÈ ÓÌÕÞÁÑÈ, ËÏÇÄÁ ËÒÉ×ÁÑ (1) ÐÒÏÈÏÄÉÔ ÞÅ-
ÒÅÚ ÇÒÁÎÉÞÎÙÅ ÔÏÞËÉ (a, A), (b, B), ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ËÒÉ×ÁÑ, ÎÁ ËÏÔÏÒÏÊ ÍÏÖÅÔ
ÄÏÓÔÉÇÁÔØÓÑ ÜËÓÔÒÅÍÕÍ.
ðÒÉÍÅÒ 3. îÁÊÔÉ ÜËÓÔÒÅÍÕÍ ÆÕÎËÃÉÏÎÁÌÁ:
J[y(x)] =
π
2
Z
0
y(2x − y) dx, y(0) = 0, y
π
2
=
π
2
.
òÅÛÅÎÉÅ. õÒÁ×ÎÅÎÉÅ üÊÌÅÒÁ
F = y(2x − y), F
0
y
= 2x − 2y = 2(x − y),
F
0
y
0
= 0, 2(x −y) = 0 ⇒ x = y,
x = 0, y = 0
x =
π
2
, y =
π
2
,
ÇÒÁÎÉÞÎÙÅ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÔÓÑ, ÎÁÛÌÉ ÜËÓÔÒÅÍÕÍ.
3.3. ÷ÁÒÉÁÃÉÏÎÎÏÅ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÅ                                                       97

   ôÅÏÒÅÍÁ. äÌÑ ÔÏÇÏ, ÞÔÏÂÙ ÆÕÎËÃÉÑ y(x), ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÏ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÕÅ-
ÍÁÑ ÎÁ [a, b] É ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÁÑ ÇÒÁÎÉÞÎÙÍ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ y(a) = A, y(b) = B,
ÄÏÓÔÁ×ÌÑÌÁ ÆÕÎËÃÉÏÎÁÌÕ:
                                          Zb
                             J[y(x)] =         F (x, y, y 0) dx
                                          a

ÜËÓÔÒÅÍÕÍ, ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ, ÞÔÏÂÙ ÜÔÁ ÆÕÎËÃÉÑ y(x) ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÌÁ ÕÒÁ×ÎÅ-
ÎÉÀ üÊÌÅÒÁ:
                                  d 0
                           Fy0 −   F 0 = 0.
                                 dx y
   úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÜÔÏ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÂÙËÎÏ×ÅÎÎÙÍ
ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ ×ÔÏÒÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ. òÅÛÅÎÉÅ ÜÔÏÇÏ ÄÉÆÆÅÒÅÎ-
ÃÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ¡ ÆÕÎËÃÉÑ y(x) ¡ ÂÕÄÅÔ ÄÏÓÔÁ×ÌÑÔØ ÉÓÓÌÅÄÕÅÍÏÍÕ
ÆÕÎËÃÉÏÎÁÌÕ ÜËÓÔÒÅÍÕÍ.
  ðÒÏÓÔÅÊÛÉÅ ÓÌÕÞÁÉ ÉÎÔÅÇÒÉÒÕÅÍÏÓÔÉ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ üÊÌÅÒÁ
  I. F ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ y 0 : F = F (x, y).
  ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ üÊÌÅÒÁ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ:
                                      Fy (x, y) = 0,                               (1)
Ô.Å. ÉÍÅÅÍ ËÏÎÅÞÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ; ÏÎÏ ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÐÒÏÉÚ×ÏÌÁ É ÐÏ-
ÜÔÏÍÕ ÎÅ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ × ÏÂÝÅÍ ÓÌÕÞÁÅ ÇÒÁÎÉÞÎÙÍ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ y(a) = A,
y(b) = B. ìÉÛØ × ÉÓËÌÀÞÉÔÅÌØÎÙÈ ÓÌÕÞÁÑÈ, ËÏÇÄÁ ËÒÉ×ÁÑ (1) ÐÒÏÈÏÄÉÔ ÞÅ-
ÒÅÚ ÇÒÁÎÉÞÎÙÅ ÔÏÞËÉ (a, A), (b, B), ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ËÒÉ×ÁÑ, ÎÁ ËÏÔÏÒÏÊ ÍÏÖÅÔ
ÄÏÓÔÉÇÁÔØÓÑ ÜËÓÔÒÅÍÕÍ.
   ðÒÉÍÅÒ 3. îÁÊÔÉ ÜËÓÔÒÅÍÕÍ ÆÕÎËÃÉÏÎÁÌÁ:
                             π
                         Z2                                       π        π
             J[y(x)] =           y(2x − y) dx,     y(0) = 0, y           =     .
                                                                   2         2
                         0

  òÅÛÅÎÉÅ. õÒÁ×ÎÅÎÉÅ üÊÌÅÒÁ
                F = y(2x − y),           Fy0 = 2x − 2y = 2(x − y),
                     Fy0 0 = 0,
                             2(x − y) = 0 ⇒ x = y,
                             x = 0, y = 0
                                 π      π
                            x = ,y = ,
                                 2      2
ÇÒÁÎÉÞÎÙÅ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÔÓÑ, ÎÁÛÌÉ ÜËÓÔÒÅÍÕÍ.

Страницы