Математика. Жулева Л.Д - 95 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

3.3. ÷ÁÒÉÁÃÉÏÎÎÏÅ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÅ 95
ÎÁÊÄÅÎÎÙÅ ÐÏ ÐÅÒ×ÏÍÕ É ×ÔÏÒÏÍÕ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÀ, ÓÏ×ÐÁÄÁÀÔ.
δJ[y(x)] = 2
b
Z
a
y(x) δy(x) dx;
J[y(x) + αδy(x)] =
b
Z
a
[y(x) + αδy(x)]
2
dx;
∂J
∂α
= 2
b
Z
a
[y + αδy(x)] · δy(x) dx;
∂J
∂α
= ∂J[y(x)] = 2
b
Z
a
y(x) δy(x) dx.
üËÓÔÒÅÍÕÍ ÆÕÎËÃÉÏÎÁÌÁ. îÅÏÂÈÏÄÉÍÏÅ ÕÓÌÏ×ÉÅ ÜËÓÔÒÅÍÕÍÁ
æÕÎËÃÉÏÎÁÌ J[y(x)] ÄÏÓÔÉÇÁÅÔ ÎÁ ËÒÉ×ÏÊ y = y
0
(x
0
) ÍÁËÓÉÍÕÍÁ, ÅÓÌÉ
ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÏÎÁÌÁ J[y(x)] ÎÁ ÌÀÂÏÊ ÂÌÉÚËÏÊ Ë y = y
0
(x
0
) ËÒÉ×ÏÊ ÎÅ
ÂÏÌØÛÅ, ÞÅÍ J[y
0
(x
0
)], Ô.Å.
–J = J[y(x)] − J[y
0
(x
0
)] 6 0.
åÓÌÉ –J < 0 ÎÁ ×ÓÅÈ ËÒÉ×ÙÈ, ÂÌÉÚËÉÈ Ë y
0
(x
0
), ÔÏ ÎÁ ËÒÉ×ÏÊ y = y
0
(x
0
)
ÄÏÓÔÉÇÁÅÔÓÑ ÓÔÒÏÇÉÊ ÍÁËÓÉÍÕÍ.
åÓÌÉ –J > 0 ÎÁ ×ÓÅÈ ËÒÉ×ÙÈ, ÂÌÉÚËÉÈ Ë ËÒÉ×ÏÊ y = y
0
(x
0
), ÔÏ ÎÁ ËÒÉ×ÏÊ
y = y
0
(x
0
) ÄÏÓÔÉÇÁÅÔÓÑ ÓÔÒÏÇÉÊ ÍÉÎÉÍÕÍ.
ðÒÉ ÜÔÏÍ, –J = 0 ÔÏÌØËÏ ÐÒÉ y(x) = y
0
(x
0
). íÁËÓÉÍÁÌØÎÏÅ É ÍÉÎÉÍÁÌØ-
ÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÆÕÎËÃÉÏÎÁÌÁ ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÅÇÏ ÜËÓÔÒÅÍÕÍÁÍÉ, Á ÌÉÎÉÉ y(x), ÎÁ
ËÏÔÏÒÙÈ ÄÏÓÔÉÇÁÅÔÓÑ ÜËÓÔÒÅÍÕÍ ÆÕÎËÃÉÏÎÁÌÁ, ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÅÇÏ ÜËÓÔÒÅÍÁÌÑ-
ÍÉ.
ôÅÏÒÅÍÁ (ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏÅ ÕÓÌÏ×ÉÅ ÜËÓÔÒÅÍÕÍÁ ÆÕÎËÃÉÏÎÁÌÁ). åÓÌÉ ÄÉÆÆÅ-
ÒÅÎÃÉÒÕÅÍÙÊ ÆÕÎËÃÉÏÎÁÌ J[y(x)] ÄÏÓÔÉÇÁÅÔ ÜËÓÔÒÅÍÕÍÁ ÐÒÉ y = y
0
(x
0
),
ÇÄÅ y
0
(x
0
) ¡ ×ÎÕÔÒÅÎÎÑÑ ÔÏÞËÁ ÏÂÌÁÓÔÉ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÆÕÎËÃÉÏÎÁÌÁ, ÔÏ ÐÒÉ
y = y
0
(x
0
) ÉÍÅÅÍ:
δJ[y
0
(x)] = 0.
æÕÎËÃÉÉ, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ δJ = 0, ÂÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÓÔÁÃÉÏÎÁÒÎÙÍÉ ÆÕÎËÃÉÑÍÉ.
íÙ ×ÉÄÉÍ, ÞÔÏ ÜÔÏ ÕÓÌÏ×ÉÅ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏÍÕ ÕÓÌÏ×ÉÀ ÜËÓÔÒÅ-
ÍÕÍÁ ÆÕÎËÃÉÉ (y = f(x), f
0
(x) = 0).
3.3. ÷ÁÒÉÁÃÉÏÎÎÏÅ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÅ                                          95

ÎÁÊÄÅÎÎÙÅ ÐÏ ÐÅÒ×ÏÍÕ É ×ÔÏÒÏÍÕ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÀ, ÓÏ×ÐÁÄÁÀÔ.

                                      Zb
                       δJ[y(x)] = 2         y(x) δy(x) dx;
                                      a
                                       Zb
                 J[y(x) + αδy(x)] =         [y(x) + αδy(x)]2 dx;
                                       a
                             Zb
                     ∂J
                        =2        [y + αδy(x)] · δy(x) dx;
                     ∂α
                             a
                                            Zb
                    ∂J
                       = ∂J[y(x)] = 2            y(x) δy(x) dx.
                    ∂α
                                            a


   üËÓÔÒÅÍÕÍ ÆÕÎËÃÉÏÎÁÌÁ. îÅÏÂÈÏÄÉÍÏÅ ÕÓÌÏ×ÉÅ ÜËÓÔÒÅÍÕÍÁ
   æÕÎËÃÉÏÎÁÌ J[y(x)] ÄÏÓÔÉÇÁÅÔ ÎÁ ËÒÉ×ÏÊ y = y0 (x0) ÍÁËÓÉÍÕÍÁ, ÅÓÌÉ
ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÏÎÁÌÁ J[y(x)] ÎÁ ÌÀÂÏÊ ÂÌÉÚËÏÊ Ë y = y0(x0) ËÒÉ×ÏÊ ÎÅ
ÂÏÌØÛÅ, ÞÅÍ J[y0(x0)], Ô.Å.

                      –J = J[y(x)] − J[y0(x0)] 6 0.

åÓÌÉ –J < 0 ÎÁ ×ÓÅÈ ËÒÉ×ÙÈ, ÂÌÉÚËÉÈ Ë y0(x0), ÔÏ ÎÁ ËÒÉ×ÏÊ y = y0 (x0)
ÄÏÓÔÉÇÁÅÔÓÑ ÓÔÒÏÇÉÊ ÍÁËÓÉÍÕÍ.
   åÓÌÉ –J > 0 ÎÁ ×ÓÅÈ ËÒÉ×ÙÈ, ÂÌÉÚËÉÈ Ë ËÒÉ×ÏÊ y = y0 (x0), ÔÏ ÎÁ ËÒÉ×ÏÊ
y = y0 (x0) ÄÏÓÔÉÇÁÅÔÓÑ ÓÔÒÏÇÉÊ ÍÉÎÉÍÕÍ.
   ðÒÉ ÜÔÏÍ, –J = 0 ÔÏÌØËÏ ÐÒÉ y(x) = y0 (x0). íÁËÓÉÍÁÌØÎÏÅ É ÍÉÎÉÍÁÌØ-
ÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÆÕÎËÃÉÏÎÁÌÁ ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÅÇÏ ÜËÓÔÒÅÍÕÍÁÍÉ, Á ÌÉÎÉÉ y(x), ÎÁ
ËÏÔÏÒÙÈ ÄÏÓÔÉÇÁÅÔÓÑ ÜËÓÔÒÅÍÕÍ ÆÕÎËÃÉÏÎÁÌÁ, ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÅÇÏ ÜËÓÔÒÅÍÁÌÑ-
ÍÉ.
   ôÅÏÒÅÍÁ (ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏÅ ÕÓÌÏ×ÉÅ ÜËÓÔÒÅÍÕÍÁ ÆÕÎËÃÉÏÎÁÌÁ). åÓÌÉ ÄÉÆÆÅ-
ÒÅÎÃÉÒÕÅÍÙÊ ÆÕÎËÃÉÏÎÁÌ J[y(x)] ÄÏÓÔÉÇÁÅÔ ÜËÓÔÒÅÍÕÍÁ ÐÒÉ y = y0 (x0),
ÇÄÅ y0 (x0) ¡ ×ÎÕÔÒÅÎÎÑÑ ÔÏÞËÁ ÏÂÌÁÓÔÉ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÆÕÎËÃÉÏÎÁÌÁ, ÔÏ ÐÒÉ
y = y0 (x0) ÉÍÅÅÍ:
                                 δJ[y0(x)] = 0.
æÕÎËÃÉÉ, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ δJ = 0, ÂÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÓÔÁÃÉÏÎÁÒÎÙÍÉ ÆÕÎËÃÉÑÍÉ.
  íÙ ×ÉÄÉÍ, ÞÔÏ ÜÔÏ ÕÓÌÏ×ÉÅ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏÍÕ ÕÓÌÏ×ÉÀ ÜËÓÔÒÅ-
ÍÕÍÁ ÆÕÎËÃÉÉ (y = f (x), f 0 (x) = 0).

Страницы