Математика. Жулева Л.Д - 94 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

94 3. ëÏÎÔÒÏÌØÎÁÑ ÒÁÂÏÔÁ ½6
ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 5. ðÕÓÔØ J[y(x)] ÚÁÄÁÎ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å M ÆÕÎËÃÉÉ y(x).
ðÒÉÒÁÝÅÎÉÅÍ ÆÕÎËÃÉÏÎÁÌÁ J[y(x)], ÏÔ×ÅÞÁÀÝÉÍ ÐÒÉÒÁÝÅÎÉÀ δy(x) ÁÒÇÕ-
ÍÅÎÔÁ, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ×ÅÌÉÞÉÎÁ
–J = –J[y(x)] = J[y(x) + δy(x)] − J[y(x)], (9)
ÚÄÅÓØ δy(x) = y(x) − y(x
0
), ÇÄÅ y(x) ∈ M, y(x
0
) ∈ M.
ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 6. åÓÌÉ ÐÒÉÒÁÝÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÏÎÁÌÁ –J ÍÏÖÎÏ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ
× ×ÉÄÅ
–J = J[y(x), δy] + β[y(x), δy]δy, (10)
ÇÄÅ ÐÅÒ×ÏÅ ÓÌÁÇÁÅÍÏÅ ¡ ÌÉÎÅÊÎÙÊ ÐÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÀ Ë δy ÆÕÎËÃÉÏÎÁÌ, Á
β(y(x), δy) → 0 ÐÒÉ δy → 0, ÔÏ ÇÌÁ×ÎÁÑ ÌÉÎÅÊÎÁÑ ÞÁÓÔØ ÐÒÉÒÁÝÅÎÉÑ ÆÕÎË-
ÃÉÏÎÁÌÁ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ×ÁÒÉÁÃÉÅÊ ÆÕÎËÃÉÏÎÁÌÁ δJ.
ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 7. æÕÎËÃÉÏÎÁÌ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÕÅÍÙÍ × ÔÏÞËÅ
y
0
(x
0
), ÅÓÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ×ÁÒÉÁÃÉÑ ÆÕÎËÃÉÏÎÁÌÁ.
ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 8. ÷ÁÒÉÁÃÉÅÊ ÆÕÎËÃÉÏÎÁÌÁ J[y(x)] × ÔÏÞËÅ y
0
(x
0
) ÎÁÚÙ×Á-
ÅÔÓÑ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÏÎÁÌÁ J[y(x) + αδy(x)] ÐÏ ÐÁÒÁÍÅÔÒÕ α,
ÐÒÉ α = 0:
δJ =
∂
∂α
J[y(x) + αδy(x)]
α=0
.
åÓÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ×ÁÒÉÁÃÉÑ ÆÕÎËÃÉÏÎÁÌÁ ËÁË ÇÌÁ×ÎÁÑ ÌÉÎÅÊÎÁÑ ÞÁÓÔØ ÅÇÏ
ÐÒÉÒÁÝÅÎÉÑ, ÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ É ×ÁÒÉÁÃÉÑ ËÁË ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ ÐÏ ÐÁÒÁ-
ÍÅÔÒÕ α, ÐÒÉ α = 0 É ÜÔÉ ×ÁÒÉÁÃÉÉ ÓÏ×ÐÁÄÁÀÔ.
ðÒÉÍÅÒ 2. ðÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ×ÁÒÉÁÃÉÉ ÆÕÎËÃÉÏÎÁÌÁ
J[y(x)] =
b
Z
a
y
2
(x) dx,
94                                                   3. ëÏÎÔÒÏÌØÎÁÑ ÒÁÂÏÔÁ ½6

  ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 5. ðÕÓÔØ J[y(x)] ÚÁÄÁÎ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å M ÆÕÎËÃÉÉ y(x).
ðÒÉÒÁÝÅÎÉÅÍ ÆÕÎËÃÉÏÎÁÌÁ J[y(x)], ÏÔ×ÅÞÁÀÝÉÍ ÐÒÉÒÁÝÅÎÉÀ δy(x) ÁÒÇÕ-
ÍÅÎÔÁ, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ×ÅÌÉÞÉÎÁ


               –J = –J[y(x)] = J[y(x) + δy(x)] − J[y(x)],                 (9)


ÚÄÅÓØ δy(x) = y(x) − y(x0), ÇÄÅ y(x) ∈ M, y(x0) ∈ M.
   ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 6. åÓÌÉ ÐÒÉÒÁÝÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÏÎÁÌÁ –J ÍÏÖÎÏ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ
× ×ÉÄÅ


                    –J = J[y(x), δy] + β[y(x), δy]δy,                    (10)


ÇÄÅ ÐÅÒ×ÏÅ ÓÌÁÇÁÅÍÏÅ ¡ ÌÉÎÅÊÎÙÊ ÐÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÀ Ë δy ÆÕÎËÃÉÏÎÁÌ, Á
β(y(x), δy) → 0 ÐÒÉ δy → 0, ÔÏ ÇÌÁ×ÎÁÑ ÌÉÎÅÊÎÁÑ ÞÁÓÔØ ÐÒÉÒÁÝÅÎÉÑ ÆÕÎË-
ÃÉÏÎÁÌÁ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ×ÁÒÉÁÃÉÅÊ ÆÕÎËÃÉÏÎÁÌÁ δJ.
    ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 7. æÕÎËÃÉÏÎÁÌ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÕÅÍÙÍ × ÔÏÞËÅ
y0 (x0), ÅÓÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ×ÁÒÉÁÃÉÑ ÆÕÎËÃÉÏÎÁÌÁ.
    ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 8. ÷ÁÒÉÁÃÉÅÊ ÆÕÎËÃÉÏÎÁÌÁ J[y(x)] × ÔÏÞËÅ y0 (x0) ÎÁÚÙ×Á-
ÅÔÓÑ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÏÎÁÌÁ J[y(x) + αδy(x)] ÐÏ ÐÁÒÁÍÅÔÒÕ α,
ÐÒÉ α = 0:


                              ∂
                      δJ =      J[y(x) + αδy(x)]α=0.
                             ∂α


åÓÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ×ÁÒÉÁÃÉÑ ÆÕÎËÃÉÏÎÁÌÁ ËÁË ÇÌÁ×ÎÁÑ ÌÉÎÅÊÎÁÑ ÞÁÓÔØ ÅÇÏ
ÐÒÉÒÁÝÅÎÉÑ, ÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ É ×ÁÒÉÁÃÉÑ ËÁË ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ ÐÏ ÐÁÒÁ-
ÍÅÔÒÕ α, ÐÒÉ α = 0 É ÜÔÉ ×ÁÒÉÁÃÉÉ ÓÏ×ÐÁÄÁÀÔ.
  ðÒÉÍÅÒ 2. ðÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ×ÁÒÉÁÃÉÉ ÆÕÎËÃÉÏÎÁÌÁ


                                      Zb
                          J[y(x)] =        y 2 (x) dx,
                                      a

Страницы