Математика. Жулева Л.Д - 98 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

98 3. ëÏÎÔÒÏÌØÎÁÑ ÒÁÂÏÔÁ ½6
äÌÑ ÄÒÕÇÉÈ ÇÒÁÎÉÞÎÙÈ ÕÓÌÏ×ÉÊ, ÎÁÐÒÉÍÅÒ, y(0) = 0, y
π
2
= 1 ÐÒÑÍÁÑ
y = x ÎÅ ÐÒÏÈÏÄÉÔ ÞÅÒÅÚ ÇÒÁÎÉÞÎÙÅ ÔÏÞËÉ, ÔÁË ÞÔÏ ÐÒÉ ÜÔÉÈ ÇÒÁÎÉÞÎÙÈ
ÕÓÌÏ×ÉÑÈ ×ÁÒÉÁÃÉÏÎÎÁÑ ÚÁÄÁÞÁ ÎÅ ÉÍÅÅÔ ÒÅÛÅÎÉÑ.
2. F ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ y ÌÉÎÅÊÎÏ, Ô.Å. F (x, y, y
0
) = M(x, y) + N(x, y)
dy
dx
.
õÒÁ×ÎÅÎÉÅ üÊÌÅÒÁ:
F
0
y
=
∂M
∂y
+
∂N
∂y
y
0
,
F
0
y
0
= N(x, y),
F
00
y
0
x
=
∂N
∂x
,
F
00
y
0
y
=
∂N
∂y
,
F
00
y
0
y
0
= 0,
∂M
∂y
+
∂N
∂y
y
0
−
∂N
∂x
−
∂N
∂y
y
0
= 0,
∂M
∂y
−
∂N
∂x
= 0
¡ ËÏÎÅÞÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ, ÎÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÅ.
ëÒÉ×ÁÑ, ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÁÑ ÜÔÉÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ, × ÏÂÝÅÍ ÓÌÕÞÁÅ ÎÅ ÕÄÏ×ÌÅÔ×Ï-
ÒÑÅÔ ÇÒÁÎÉÞÎÙÍ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ, Á ÚÎÁÞÉÔ É ×ÁÒÉÁÃÉÏÎÎÁÑ ÚÁÄÁÞÁ, ËÁË ÐÒÁ×É-
ÌÏ, ÎÅ ÉÍÅÅÔ ÒÅÛÅÎÉÑ × ËÌÁÓÓÅ ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÙÈ ÆÕÎËÃÉÊ. åÓÌÉ × ÎÅËÏÔÏÒÏÊ
ÏÂÌÁÓÔÉ D ÐÌÏÓËÏÓÔÉ XOY ,
∂M
∂y
−
∂N
∂x
≡ 0, ÔÏ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ F (x, y, y
0
) =
= M(x, y) dx + N(x, y) dy Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÐÏÌÎÙÍ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌÏÍ É ÆÕÎËÃÉÏÎÁÌ
J[y(x)] =
b
Z
a
F (x, y, y
0
) dx =
(b,B)
Z
(a,A)
M dx + N dy
ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ÐÕÔÉ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ (ÏÄÎÏ ÉÚ Ó×ÏÊÓÔ× ËÒÉ×ÏÌÉÎÅÊÎÙÈ ÉÎÔÅ-
ÇÒÁÌÏ×): ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÏÎÁÌÁ ÏÄÎÏ É ÔÏ ÖÅ ÎÁ ÄÏÐÕÓÔÉÍÙÈ ËÒÉ×ÙÈ. ÷ÁÒÉ-
ÁÃÉÏÎÎÁÑ ÚÁÄÁÞÁ ÔÅÒÑÅÔ ÓÍÙÓÌ.
98                                                 3. ëÏÎÔÒÏÌØÎÁÑ ÒÁÂÏÔÁ ½6
                                                                 
   äÌÑ ÄÒÕÇÉÈ ÇÒÁÎÉÞÎÙÈ ÕÓÌÏ×ÉÊ, ÎÁÐÒÉÍÅÒ, y(0) = 0, y π2 = 1 ÐÒÑÍÁÑ
y = x ÎÅ ÐÒÏÈÏÄÉÔ ÞÅÒÅÚ ÇÒÁÎÉÞÎÙÅ ÔÏÞËÉ, ÔÁË ÞÔÏ ÐÒÉ ÜÔÉÈ ÇÒÁÎÉÞÎÙÈ
ÕÓÌÏ×ÉÑÈ ×ÁÒÉÁÃÉÏÎÎÁÑ ÚÁÄÁÞÁ ÎÅ ÉÍÅÅÔ ÒÅÛÅÎÉÑ.
                                                                     dy
   2. F ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ y ÌÉÎÅÊÎÏ, Ô.Å. F (x, y, y 0) = M(x, y) + N(x, y) dx .
   õÒÁ×ÎÅÎÉÅ üÊÌÅÒÁ:


                                  ∂M ∂N 0
                                Fy0 =    +       y,
                                  ∂y        ∂y
                            Fy0 0 = N(x, y),
                                          ∂N
                             Fy000 x =        ,
                                          ∂x
                                          ∂N
                             Fy000 y =        ,
                                          ∂y
                                Fy000 y0 = 0,
                     ∂M ∂N 0 ∂N ∂N 0
                        +    y −            −       y = 0,
                     ∂y   ∂y            ∂x      ∂y
                           ∂M ∂N
                                   −        =0
                            ∂y           ∂x


¡ ËÏÎÅÞÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ, ÎÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÅ.
   ëÒÉ×ÁÑ, ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÁÑ ÜÔÉÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ, × ÏÂÝÅÍ ÓÌÕÞÁÅ ÎÅ ÕÄÏ×ÌÅÔ×Ï-
ÒÑÅÔ ÇÒÁÎÉÞÎÙÍ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ, Á ÚÎÁÞÉÔ É ×ÁÒÉÁÃÉÏÎÎÁÑ ÚÁÄÁÞÁ, ËÁË ÐÒÁ×É-
ÌÏ, ÎÅ ÉÍÅÅÔ ÒÅÛÅÎÉÑ × ËÌÁÓÓÅ ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÙÈ ÆÕÎËÃÉÊ. åÓÌÉ × ÎÅËÏÔÏÒÏÊ
ÏÂÌÁÓÔÉ D ÐÌÏÓËÏÓÔÉ XOY , ∂M         ∂N                            0
                               ∂y − ∂x ≡ 0, ÔÏ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ F (x, y, y ) =
= M(x, y) dx + N(x, y) dy Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÐÏÌÎÙÍ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌÏÍ É ÆÕÎËÃÉÏÎÁÌ


                           Zb                         (b,B)
                                                      Z
               J[y(x)] =        F (x, y, y 0) dx =           M dx + N dy
                           a                         (a,A)




ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ÐÕÔÉ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ (ÏÄÎÏ ÉÚ Ó×ÏÊÓÔ× ËÒÉ×ÏÌÉÎÅÊÎÙÈ ÉÎÔÅ-
ÇÒÁÌÏ×): ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÏÎÁÌÁ ÏÄÎÏ É ÔÏ ÖÅ ÎÁ ÄÏÐÕÓÔÉÍÙÈ ËÒÉ×ÙÈ. ÷ÁÒÉ-
ÁÃÉÏÎÎÁÑ ÚÁÄÁÞÁ ÔÅÒÑÅÔ ÓÍÙÓÌ.

Страницы