Математика. Жулева Л.Д - 105 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

3.4. ÷ÁÒÉÁÎÔÙ ËÏÎÔÒÏÌØÎÏÊ ÒÁÂÏÔÙ ½6 105
É ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ üÊÌÅÒÁ ÐÒÉÎÉÍÁÅÔ ×ÉÄ:
12x − 2y
00
= 0,
ÏÔËÕÄÁ
y
00
= 6x.
òÅÛÁÅÍ ÜÔÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ y
0
= p, ÔÏÇÄÁ y
00
= p
0
É ÐÏÌÕÞÁÅÍ ÏÔÎÏÓÉ-
ÔÅÌØÎÏ p ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ:
p
0
= 6x ⇒
dp
dx
= 6x ⇒ dp = 6x dx ⇒
⇒ p = 6
x
2
2
+ C
1
⇒ p = 3x
2
+ C
1
.
ðÅÒÅÈÏÄÉÍ Ë y:
dy
dx
= 3x
2
+ C
1
, dy = 3x
2
dx + C
1
dx ⇒ y = 3
x
3
3
+ C
1
x + C
2
⇒
y = x
3
+ C
1
x + C
2
.
îÁÊÄÅÍ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÅ ÐÏÓÔÏÑÎÎÙÅ, ÉÓÐÏÌØÚÕÑ ÇÒÁÎÉÞÎÙÅ ÕÓÌÏ×ÉÑ:
y(0) = 0 ⇒ C
2
= 0,
y(1) = 1 ⇒ 1 = 1 + C
1
⇒ C
1
= 0.
y = x
3
¡ ÉÓËÏÍÁÑ ÜËÓÔÒÅÍÁÌØ ÄÁÎÎÏÇÏ ÆÕÎËÃÉÏÎÁÌÁ.
3.4. ÷ÁÒÉÁÎÔÙ ËÏÎÔÒÏÌØÎÏÊ ÒÁÂÏÔÙ ½6
úÁÄÁÎÉÅ 1. îÁÊÔÉ ÜËÓÔÒÅÍÕÍ ÆÕÎËÃÉÉ
0. z(x, y) = x
2
+ y
2
− 4y + 4;
1. z(x, y) = 2xy − 3x
2
− 2y
2
+ 10;
2. z(x, y) = 3x
2
+ 2y
2
− 3y + 1;
3. z(x, y) = 2x
2
+ 3y
2
− x −7y;
4. z(x, y) = 1 − x + 2y − 6x
2
− y
2
;
5. z(x, y) = (x − 1)
2
+ y
2
;
6. z(x, y) = 4(x − 1) − x
2
− y
2
;
7. z(x, y) = 3x
2
+ 3y
2
− 2x − 2y + 2;
8. z(x, y) = xy(4 −x − y);
9. z(x, y) = x
2
+ y
2
− 9xy + 27.
3.4. ÷ÁÒÉÁÎÔÙ ËÏÎÔÒÏÌØÎÏÊ ÒÁÂÏÔÙ ½6                                       105

É ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ üÊÌÅÒÁ ÐÒÉÎÉÍÁÅÔ ×ÉÄ:

                                12x − 2y 00 = 0,

ÏÔËÕÄÁ

                                   y 00 = 6x.

òÅÛÁÅÍ ÜÔÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ y 0 = p, ÔÏÇÄÁ y 00 = p0 É ÐÏÌÕÞÁÅÍ ÏÔÎÏÓÉ-
ÔÅÌØÎÏ p ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ:

                             dp
                    p0 = 6x ⇒   = 6x ⇒ dp = 6x dx ⇒
                             dx
                             x2
                      ⇒ p = 6 + C1 ⇒ p = 3x2 + C1 .
                             2
                                                              3
ðÅÒÅÈÏÄÉÍ Ë y: dx dy
                       = 3x2 + C1, dy = 3x2 dx + C1 dx ⇒ y = 3 x3 + C1x + C2 ⇒
y = x 3 + C1 x + C 2 .
   îÁÊÄÅÍ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÅ ÐÏÓÔÏÑÎÎÙÅ, ÉÓÐÏÌØÚÕÑ ÇÒÁÎÉÞÎÙÅ ÕÓÌÏ×ÉÑ:

                             y(0) = 0 ⇒ C2 = 0,
                      y(1) = 1 ⇒ 1 = 1 + C1 ⇒ C1 = 0.

y = x3 ¡ ÉÓËÏÍÁÑ ÜËÓÔÒÅÍÁÌØ ÄÁÎÎÏÇÏ ÆÕÎËÃÉÏÎÁÌÁ.


3.4. ÷ÁÒÉÁÎÔÙ ËÏÎÔÒÏÌØÎÏÊ ÒÁÂÏÔÙ ½6
  úÁÄÁÎÉÅ 1. îÁÊÔÉ ÜËÓÔÒÅÍÕÍ ÆÕÎËÃÉÉ
  0. z(x, y) = x2 + y 2 − 4y + 4;
  1. z(x, y) = 2xy − 3x2 − 2y 2 + 10;
  2. z(x, y) = 3x2 + 2y 2 − 3y + 1;
  3. z(x, y) = 2x2 + 3y 2 − x − 7y;
  4. z(x, y) = 1 − x + 2y − 6x2 − y 2 ;
  5. z(x, y) = (x − 1)2 + y 2 ;
  6. z(x, y) = 4(x − 1) − x2 − y 2 ;
  7. z(x, y) = 3x2 + 3y 2 − 2x − 2y + 2;
  8. z(x, y) = xy(4 − x − y);
  9. z(x, y) = x2 + y 2 − 9xy + 27.

Страницы