Математика. Жулева Л.Д - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

26 2. ëÏÎÔÒÏÌØÎÁÑ ÒÁÂÏÔÁ ½5
ôÁË, ÉÚ ÔÒÅÈ ÍÎÏÖÅÓÔ×, ÓÏÓÔÏÑÝÉÈ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ ÉÚ r, s É t ÜÌÅÍÅÎÔÏ×,
ÍÏÖÎÏ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÔØ ÔÏÞÎÏ r · s · t ÔÒÏÅË, ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÈ ÐÏ ÏÄÎÏÍÕ ÜÌÅÍÅÎÔÕ ÉÚ
ËÁÖÄÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á.
þÉÓÌÏ ×ÙÂÏÒÏË ÂÅÚ ×ÏÚ×ÒÁÝÅÎÉÑ ÏÂßÅÍÁ r ÉÚ N ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÐÏÄÓÞÉÔÙ×ÁÅÔÓÑ
ÔÁË: A
r
N
= N(N − 1) . . . (N − r + 1). ÷ÙÂÏÒËÉ ÂÅÚ ×ÏÚ×ÒÁÝÅÎÉÑ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ
ÅÝÅ ÒÁÚÍÅÝÅÎÉÑÍÉ ÂÅÚ ÐÏ×ÔÏÒÅÎÉÊ. ðÒÉ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÉ ÜÔÉÈ ÓÏÅÄÉÎÅÎÉÊ ×ÁÖÅÎ
ÐÏÒÑÄÏË ×ÙÂÏÒÁ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ¡ ËÁËÏÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ×ÙÂÒÁÎ ÐÅÒ×ÙÍ, ËÁËÏÊ ×ÔÏÒÙÍ
É Ô.Ä.
÷ÙÂÏÒËÉ ÂÅÚ ×ÏÚ×ÒÁÝÅÎÉÑ ÏÂßÅÍÁ N ÉÚ N ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÐÅÒÅÓÔÁ-
ÎÏ×ËÁÍÉ ÉÚ N ÜÌÅÍÅÎÔÏ×. þÉÓÌÏ N! ÏÚÎÁÞÁÅÔ ÞÉÓÌÏ ×ÓÅ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÐÅÒÅÓÔÁ-
ÎÏ×ÏË ÉÚ N ÜÌÅÍÅÎÔÏ×. äÒÕÇÉÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, N! ÅÓÔØ ÞÉÓÌÏ ÓÐÏÓÏÂÏ×, ËÏÔÏÒÙÍ
ÍÏÖÎÏ ÕÐÏÒÑÄÏÞÉÔØ N ÜÌÅÍÅÎÔÏ×.
óÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Á ÆÏÒÍÕÌÁ:
A
r
N
=
N!
(N − r)!
.
óÞÉÔÁÅÍ ÐÏ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÀ, ÞÔÏ 0! = 1.
þÉÓÌÏ ×ÙÂÏÒÏË Ó ×ÏÚ×ÒÁÝÅÎÉÅÍ ÏÂßÅÍÁ r ÉÚ N ÜÌÅÍÅÎÔÏ×
A
r
N
= N
r
. ôÁËÉÅ
×ÙÂÏÒËÉ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÒÁÚÍÅÝÅÎÉÑÍÉ Ó ÐÏ×ÔÏÒÅÎÉÑÍÉ.
åÓÌÉ ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á, ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÇÏ N ÜÌÅÍÅÎÔÏ×, ×ÙÂÉÒÁÀÔÓÑ ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ
ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á × r ÜÌÅÍÅÎÔÏ×, ËÏÔÏÒÙÅ ÄÒÕÇ ÏÔ ÄÒÕÇÁ ÏÔÌÉÞÁÀÔÓÑ ÔÏÌØËÏ
ËÁËÉÍ-ÌÉÂÏ ÜÌÅÍÅÎÔÏÍ, ÔÏ ÔÁËÉÅ ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÓÏÞÅÔÁÎÉÑÍÉ ÉÚ
N ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÐÏ r ÜÌÅÍÅÎÔÏ× (C
r
N
). ôÁË ËÁË × ÓÏÞÅÔÁÎÉÑÈ ÎÅ ×ÁÖÅÎ ÐÏÒÑÄÏË
×ÙÂÒÁÎÎÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×, ÔÏ C
r
N
=
A
r
N
r!
=
N!
r!(N −r)!
.
îÅËÏÔÏÒÙÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÞÉÓÌÁ ÓÏÞÅÔÁÎÉÊ, ÉÓÐÏÌØÚÕÅÍÙÈ ÐÒÉ ÒÅÛÅÎÉÉ ÚÁÄÁÞ,
ÓÏÄÅÒÖÁÔÓÑ × ÆÏÒÍÕÌÁÈ:
C
r
N
= C
N−r
N
,
C
0
N
+ C
1
N
+ . . . + C
N
N
= 2
N
.
äÅÊÓÔ×ÉÑ ÎÁÄ ÓÏÂÙÔÉÑÍÉ
÷×ÅÄÅÍ ÐÏÎÑÔÉÑ ÓÕÍÍÙ É ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ ÓÏÂÙÔÉÊ.
óÕÍÍÏÊ ÎÅÓËÏÌØËÉÈ ÓÏÂÙÔÉÊ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÏÂÙÔÉÅ, ÓÏÓÔÏÑÝÅÅ × ÎÁÓÔÕÐÌÅ-
ÎÉÉ ÈÏÔÑ ÂÙ ÏÄÎÏÇÏ ÉÚ ÄÁÎÎÙÈ ÓÏÂÙÔÉÊ. åÓÌÉ A É B ¡ ÓÏ×ÍÅÓÔÎÙÅ ÓÏÂÙÔÉÑ,
ÔÏ ÉÈ ÓÕÍÍÁ A + B ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔ ÎÁÓÔÕÐÌÅÎÉÅ ÉÌÉ ÓÏÂÙÔÉÑ A, ÉÌÉ ÓÏÂÙÔÉÑ
B, ÉÌÉ ÏÂÏÉÈ ÓÏÂÙÔÉÊ ×ÍÅÓÔÅ. åÓÌÉ A É B ¡ ÎÅÓÏ×ÍÅÓÔÎÙÅ ÓÏÂÙÔÉÑ, ÔÏ ÉÈ
ÓÕÍÍÁ A + B ÏÚÎÁÞÁÅÔ ÎÁÓÔÕÐÌÅÎÉÅ ÉÌÉ ÓÏÂÙÔÉÑ A, ÉÌÉ ÓÏÂÙÔÉÑ B.
ðÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅÍ ÎÅÓËÏÌØËÉÈ ÓÏÂÙÔÉÊ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÏÂÙÔÉÅ, ÓÏÓÔÏÑÝÅÅ × ÓÏ-
×ÍÅÓÔÎÏÍ ÎÁÓÔÕÐÌÅÎÉÉ ×ÓÅÈ ÜÔÉÈ ÓÏÂÙÔÉÊ. åÓÌÉ A, B, C ¡ ÓÏ×ÍÅÓÔÎÙÅ ÓÏ-
ÂÙÔÉÑ, ÔÏ ÉÈ ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ A · B · C ÏÚÎÁÞÁÅÔ ÎÁÓÔÕÐÌÅÎÉÅ É ÓÏÂÙÔÉÑ A, É
ÓÏÂÙÔÉÑ B, É ÓÏÂÙÔÉÑ C.
26                                               2. ëÏÎÔÒÏÌØÎÁÑ ÒÁÂÏÔÁ ½5

ôÁË, ÉÚ ÔÒÅÈ ÍÎÏÖÅÓÔ×, ÓÏÓÔÏÑÝÉÈ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ ÉÚ r, s É t ÜÌÅÍÅÎÔÏ×,
ÍÏÖÎÏ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÔØ ÔÏÞÎÏ r · s · t ÔÒÏÅË, ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÈ ÐÏ ÏÄÎÏÍÕ ÜÌÅÍÅÎÔÕ ÉÚ
ËÁÖÄÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á.
   þÉÓÌÏ ×ÙÂÏÒÏË ÂÅÚ ×ÏÚ×ÒÁÝÅÎÉÑ ÏÂßÅÍÁ r ÉÚ N ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÐÏÄÓÞÉÔÙ×ÁÅÔÓÑ
ÔÁË: ArN = N(N − 1) . . . (N − r + 1). ÷ÙÂÏÒËÉ ÂÅÚ ×ÏÚ×ÒÁÝÅÎÉÑ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ
ÅÝÅ ÒÁÚÍÅÝÅÎÉÑÍÉ ÂÅÚ ÐÏ×ÔÏÒÅÎÉÊ. ðÒÉ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÉ ÜÔÉÈ ÓÏÅÄÉÎÅÎÉÊ ×ÁÖÅÎ
ÐÏÒÑÄÏË ×ÙÂÏÒÁ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ¡ ËÁËÏÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ×ÙÂÒÁÎ ÐÅÒ×ÙÍ, ËÁËÏÊ ×ÔÏÒÙÍ
É Ô.Ä.
   ÷ÙÂÏÒËÉ ÂÅÚ ×ÏÚ×ÒÁÝÅÎÉÑ ÏÂßÅÍÁ N ÉÚ N ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÐÅÒÅÓÔÁ-
ÎÏ×ËÁÍÉ ÉÚ N ÜÌÅÍÅÎÔÏ×. þÉÓÌÏ N! ÏÚÎÁÞÁÅÔ ÞÉÓÌÏ ×ÓÅ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÐÅÒÅÓÔÁ-
ÎÏ×ÏË ÉÚ N ÜÌÅÍÅÎÔÏ×. äÒÕÇÉÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, N! ÅÓÔØ ÞÉÓÌÏ ÓÐÏÓÏÂÏ×, ËÏÔÏÒÙÍ
ÍÏÖÎÏ ÕÐÏÒÑÄÏÞÉÔØ N ÜÌÅÍÅÎÔÏ×.
   óÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Á ÆÏÒÍÕÌÁ:
                                        N!
                              ArN =            .
                                     (N − r)!
   óÞÉÔÁÅÍ ÐÏ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÀ, ÞÔÏ 0! = 1.
   þÉÓÌÏ ×ÙÂÏÒÏË Ó ×ÏÚ×ÒÁÝÅÎÉÅÍ ÏÂßÅÍÁ r ÉÚ N ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ArN = N r . ôÁËÉÅ
×ÙÂÏÒËÉ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÒÁÚÍÅÝÅÎÉÑÍÉ Ó ÐÏ×ÔÏÒÅÎÉÑÍÉ.
   åÓÌÉ ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á, ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÇÏ N ÜÌÅÍÅÎÔÏ×, ×ÙÂÉÒÁÀÔÓÑ ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ
ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á × r ÜÌÅÍÅÎÔÏ×, ËÏÔÏÒÙÅ ÄÒÕÇ ÏÔ ÄÒÕÇÁ ÏÔÌÉÞÁÀÔÓÑ ÔÏÌØËÏ
ËÁËÉÍ-ÌÉÂÏ ÜÌÅÍÅÎÔÏÍ, ÔÏ ÔÁËÉÅ ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÓÏÞÅÔÁÎÉÑÍÉ ÉÚ
N ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÐÏ r ÜÌÅÍÅÎÔÏ× (CNr ). ôÁË ËÁË × ÓÏÞÅÔÁÎÉÑÈ ÎÅ ×ÁÖÅÎ ÐÏÒÑÄÏË
                                  r
×ÙÂÒÁÎÎÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×, ÔÏ CNr = Ar!N = r!(NN−r)!
                                           !
                                               .
   îÅËÏÔÏÒÙÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÞÉÓÌÁ ÓÏÞÅÔÁÎÉÊ, ÉÓÐÏÌØÚÕÅÍÙÈ ÐÒÉ ÒÅÛÅÎÉÉ ÚÁÄÁÞ,
ÓÏÄÅÒÖÁÔÓÑ × ÆÏÒÍÕÌÁÈ:
                               CNr = CNN −r ,
                       CN0 + CN1 + . . . + CNN = 2N .

   äÅÊÓÔ×ÉÑ ÎÁÄ ÓÏÂÙÔÉÑÍÉ
   ÷×ÅÄÅÍ ÐÏÎÑÔÉÑ ÓÕÍÍÙ É ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ ÓÏÂÙÔÉÊ.
   óÕÍÍÏÊ ÎÅÓËÏÌØËÉÈ ÓÏÂÙÔÉÊ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÏÂÙÔÉÅ, ÓÏÓÔÏÑÝÅÅ × ÎÁÓÔÕÐÌÅ-
ÎÉÉ ÈÏÔÑ ÂÙ ÏÄÎÏÇÏ ÉÚ ÄÁÎÎÙÈ ÓÏÂÙÔÉÊ. åÓÌÉ A É B ¡ ÓÏ×ÍÅÓÔÎÙÅ ÓÏÂÙÔÉÑ,
ÔÏ ÉÈ ÓÕÍÍÁ A + B ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔ ÎÁÓÔÕÐÌÅÎÉÅ ÉÌÉ ÓÏÂÙÔÉÑ A, ÉÌÉ ÓÏÂÙÔÉÑ
B, ÉÌÉ ÏÂÏÉÈ ÓÏÂÙÔÉÊ ×ÍÅÓÔÅ. åÓÌÉ A É B ¡ ÎÅÓÏ×ÍÅÓÔÎÙÅ ÓÏÂÙÔÉÑ, ÔÏ ÉÈ
ÓÕÍÍÁ A + B ÏÚÎÁÞÁÅÔ ÎÁÓÔÕÐÌÅÎÉÅ ÉÌÉ ÓÏÂÙÔÉÑ A, ÉÌÉ ÓÏÂÙÔÉÑ B.
   ðÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅÍ ÎÅÓËÏÌØËÉÈ ÓÏÂÙÔÉÊ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÏÂÙÔÉÅ, ÓÏÓÔÏÑÝÅÅ × ÓÏ-
×ÍÅÓÔÎÏÍ ÎÁÓÔÕÐÌÅÎÉÉ ×ÓÅÈ ÜÔÉÈ ÓÏÂÙÔÉÊ. åÓÌÉ A, B, C ¡ ÓÏ×ÍÅÓÔÎÙÅ ÓÏ-
ÂÙÔÉÑ, ÔÏ ÉÈ ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ A · B · C ÏÚÎÁÞÁÅÔ ÎÁÓÔÕÐÌÅÎÉÅ É ÓÏÂÙÔÉÑ A, É
ÓÏÂÙÔÉÑ B, É ÓÏÂÙÔÉÑ C.

Страницы