Математика. Жулева Л.Д - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

28 2. ëÏÎÔÒÏÌØÎÁÑ ÒÁÂÏÔÁ ½5
æÏÒÍÕÌÁ (∗) ÓÌÕÖÉÔ É ÐÒÏ×ÅÒËÏÊ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÉ ÓÏÂÙÔÉÊ. îÅÓËÏÌØËÏ ÓÏ-
ÂÙÔÉÊ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÍÉ × ÓÏ×ÏËÕÐÎÏÓÔÉ, ÅÓÌÉ ËÁÖÄÏÅ ÉÚ ÎÉÈ É ÌÀÂÁÑ
ËÏÍÂÉÎÁÃÉÑ ÏÓÔÁÌØÎÙÈ ÓÏÂÙÔÉÊ ÅÓÔØ ÓÏÂÙÔÉÑ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÅ. ÷ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ
ÓÏ×ÍÅÓÔÎÏÇÏ ÐÏÑ×ÌÅÎÉÑ ÎÅÓËÏÌØËÉÈ ÓÏÂÙÔÉÊ, ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÈ × ÓÏ×ÏËÕÐÎÏÓÔÉ,
ÒÁ×ÎÁ ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÀ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅÊ ÜÔÉÈ ÓÏÂÙÔÉÊ:
P (A
1
A
2
. . . A
n
) = P (A
1
)P (A
2
) . . . P (A
n
).
÷ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ ÐÏÑ×ÌÅÎÉÑ ÈÏÔÑ ÂÙ ÏÄÎÏÇÏ ÉÚ Ä×ÕÈ ÓÏ×ÍÅÓÔÎÙÈ ÓÏÂÙÔÉÊ ÒÁ×-
ÎÁ ÓÕÍÍÅ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅÊ ÜÔÉÈ ÓÏÂÙÔÉÊ ÂÅÚ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÉ ÉÈ ÓÏ×ÍÅÓÔÎÏÇÏ ÐÏ-
Ñ×ÌÅÎÉÑ:
P (A + B) = P (A) + P (B) − P (AB).
äÌÑ ÓÌÕÞÁÑ n ÓÏÂÙÔÉÊ A
1
, A
2
, . . ., A
n
, ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÈ × ÓÏ×ÏËÕÐÎÏÓÔÉ, ×ÅÒÏ-
ÑÔÎÏÓÔØ ÐÏÑ×ÌÅÎÉÑ ÈÏÔÑ ÂÙ ÏÄÎÏÇÏ ÉÚ ÎÉÈ (ÓÏÂÙÔÉÅ A) ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÎÁÊÄÅÎÁ
ÐÏ ÆÏÒÍÕÌÅ:
P (A) = 1 − q
1
q
2
. . . q
n
,
ÇÄÅ q
1
, q
2
, . . ., q
n
¡ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÉ ÎÁÓÔÕÐÌÅÎÉÊ ÓÏÂÙÔÉÊ A
1
, A
2
, . . ., A
n
.
åÓÌÉ q
1
= q
2
= . . . = q
n
, ÔÏ P (A) = 1 − q
n
ÉÌÉ P(A) = 1 − (1 − p)
n
.
æÏÒÍÕÌÁ ÐÏÌÎÏÊ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÉ É ÆÏÒÍÕÌÙ âÁÊÅÓÁ
åÓÌÉ ÓÏÂÙÔÉÅ C ÍÏÖÅÔ ÏÓÕÝÅÓÔ×ÉÔØÓÑ ÐÒÉ ÕÓÌÏ×ÉÉ ÐÏÑ×ÌÅÎÉÑ ÏÄÎÏÊ ÉÚ
ÇÉÐÏÔÅÚ ¡ ÎÅÓÏ×ÍÅÓÔÉÍÙÈ ÓÏÂÙÔÉÊ A
1
, A
2
, . . ., A
n
, ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÈ ÐÏÌÎÕÀ
ÇÒÕÐÐÕ, ÔÏ ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Á ÆÏÒÍÕÌÁ ÐÏÌÎÏÊ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÉ:
P (C) = P (A
1
) · P
A
1
(C) + P (A
2
) · P
A
2
(C) + . . . + P (A
n
) · P
A
n
(C).
ðÒÉ ÔÅÈ ÖÅ ÕÓÌÏ×ÉÑÈ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ ÌÀÂÏÊ ÉÚ ÇÉÐÏÔÅÚ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÎÁÊÄÅÎÁ
ÐÏ ÆÏÒÍÕÌÁÍ âÁÊÅÓÁ:
P
C
(A
i
) =
P (A
i
)P
A
i
(C)
n
P
i=1
P (A
i
)P
A
i
(C)
, i = 1, 2, . . . , n.
üÔÉ ÆÏÒÍÕÌÙ ÐÏÚ×ÏÌÑÀÔ ÐÅÒÅÏÃÅÎÉÔØ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÉ ÇÉÐÏÔÅÚ ÐÏÓÌÅ ÐÒÏ×Å-
ÄÅÎÉÑ ÉÓÐÙÔÁÎÉÑ, × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÐÏÑ×ÉÌÏÓØ ÓÏÂÙÔÉÅ C.
ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÈ ÉÓÐÙÔÁÎÉÊ É ÆÏÒÍÕÌÁ âÅÒ-
ÎÕÌÌÉ
åÓÌÉ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÉÔÓÑ n ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÈ ÉÓÐÙÔÁÎÉÊ, × ËÁÖÄÏÍ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÓÏ-
ÂÙÔÉÅ A ÍÏÖÅÔ ÐÏÑ×ÉÔØÓÑ Ó ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØÀ p É ÎÅ ÐÏÑ×ÉÔØÓÑ Ó ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØÀ
q = 1 − p, ÔÏ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ P
m,n
ÐÏÑ×ÌÅÎÉÑ ÓÏÂÙÔÉÑ A ÒÏ×ÎÏ m ÒÁÚ ÍÏÖÅÔ
ÂÙÔØ ÎÁÊÄÅÎÁ ÐÏ ÆÏÒÍÕÌÅ âÅÒÎÕÌÌÉ:
P
m,n
= C
m
n
P
m
q
n−m
=
n!
m!(n − m)!
p
m
q
n−m
.
28                                                      2. ëÏÎÔÒÏÌØÎÁÑ ÒÁÂÏÔÁ ½5

   æÏÒÍÕÌÁ (∗) ÓÌÕÖÉÔ É ÐÒÏ×ÅÒËÏÊ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÉ ÓÏÂÙÔÉÊ. îÅÓËÏÌØËÏ ÓÏ-
ÂÙÔÉÊ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÍÉ × ÓÏ×ÏËÕÐÎÏÓÔÉ, ÅÓÌÉ ËÁÖÄÏÅ ÉÚ ÎÉÈ É ÌÀÂÁÑ
ËÏÍÂÉÎÁÃÉÑ ÏÓÔÁÌØÎÙÈ ÓÏÂÙÔÉÊ ÅÓÔØ ÓÏÂÙÔÉÑ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÅ. ÷ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ
ÓÏ×ÍÅÓÔÎÏÇÏ ÐÏÑ×ÌÅÎÉÑ ÎÅÓËÏÌØËÉÈ ÓÏÂÙÔÉÊ, ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÈ × ÓÏ×ÏËÕÐÎÏÓÔÉ,
ÒÁ×ÎÁ ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÀ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅÊ ÜÔÉÈ ÓÏÂÙÔÉÊ:
                   P (A1 A2 . . . An) = P (A1 )P (A2) . . . P (An ).
   ÷ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ ÐÏÑ×ÌÅÎÉÑ ÈÏÔÑ ÂÙ ÏÄÎÏÇÏ ÉÚ Ä×ÕÈ ÓÏ×ÍÅÓÔÎÙÈ ÓÏÂÙÔÉÊ ÒÁ×-
ÎÁ ÓÕÍÍÅ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅÊ ÜÔÉÈ ÓÏÂÙÔÉÊ ÂÅÚ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÉ ÉÈ ÓÏ×ÍÅÓÔÎÏÇÏ ÐÏ-
Ñ×ÌÅÎÉÑ:
                          P (A + B) = P (A) + P (B) − P (AB).
   äÌÑ ÓÌÕÞÁÑ n ÓÏÂÙÔÉÊ A1 , A2, . . ., An , ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÈ × ÓÏ×ÏËÕÐÎÏÓÔÉ, ×ÅÒÏ-
ÑÔÎÏÓÔØ ÐÏÑ×ÌÅÎÉÑ ÈÏÔÑ ÂÙ ÏÄÎÏÇÏ ÉÚ ÎÉÈ (ÓÏÂÙÔÉÅ A) ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÎÁÊÄÅÎÁ
ÐÏ ÆÏÒÍÕÌÅ:
                                 P (A) = 1 − q1 q2 . . . qn ,
ÇÄÅ q1 , q2 , . . ., qn ¡ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÉ ÎÁÓÔÕÐÌÅÎÉÊ ÓÏÂÙÔÉÊ A1, A2, . . ., An .
   åÓÌÉ q1 = q2 = . . . = qn , ÔÏ P (A) = 1 − q n ÉÌÉ P (A) = 1 − (1 − p)n .
  æÏÒÍÕÌÁ ÐÏÌÎÏÊ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÉ É ÆÏÒÍÕÌÙ âÁÊÅÓÁ
  åÓÌÉ ÓÏÂÙÔÉÅ C ÍÏÖÅÔ ÏÓÕÝÅÓÔ×ÉÔØÓÑ ÐÒÉ ÕÓÌÏ×ÉÉ ÐÏÑ×ÌÅÎÉÑ ÏÄÎÏÊ ÉÚ
ÇÉÐÏÔÅÚ ¡ ÎÅÓÏ×ÍÅÓÔÉÍÙÈ ÓÏÂÙÔÉÊ A1, A2 , . . ., An , ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÈ ÐÏÌÎÕÀ
ÇÒÕÐÐÕ, ÔÏ ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Á ÆÏÒÍÕÌÁ ÐÏÌÎÏÊ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÉ:
      P (C) = P (A1 ) · PA1 (C) + P (A2 ) · PA2 (C) + . . . + P (An ) · PAn (C).
   ðÒÉ ÔÅÈ ÖÅ ÕÓÌÏ×ÉÑÈ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ ÌÀÂÏÊ ÉÚ ÇÉÐÏÔÅÚ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÎÁÊÄÅÎÁ
ÐÏ ÆÏÒÍÕÌÁÍ âÁÊÅÓÁ:
                          P (Ai )PAi (C)
               PC (Ai) = P
                         n               , i = 1, 2, . . . , n.
                           P (Ai)PAi (C)
                            i=1
   üÔÉ ÆÏÒÍÕÌÙ ÐÏÚ×ÏÌÑÀÔ ÐÅÒÅÏÃÅÎÉÔØ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÉ ÇÉÐÏÔÅÚ ÐÏÓÌÅ ÐÒÏ×Å-
ÄÅÎÉÑ ÉÓÐÙÔÁÎÉÑ, × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÐÏÑ×ÉÌÏÓØ ÓÏÂÙÔÉÅ C.
  ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÈ ÉÓÐÙÔÁÎÉÊ É ÆÏÒÍÕÌÁ âÅÒ-
ÎÕÌÌÉ
  åÓÌÉ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÉÔÓÑ n ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÈ ÉÓÐÙÔÁÎÉÊ, × ËÁÖÄÏÍ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÓÏ-
ÂÙÔÉÅ A ÍÏÖÅÔ ÐÏÑ×ÉÔØÓÑ Ó ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØÀ p É ÎÅ ÐÏÑ×ÉÔØÓÑ Ó ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØÀ
q = 1 − p, ÔÏ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ Pm,n ÐÏÑ×ÌÅÎÉÑ ÓÏÂÙÔÉÑ A ÒÏ×ÎÏ m ÒÁÚ ÍÏÖÅÔ
ÂÙÔØ ÎÁÊÄÅÎÁ ÐÏ ÆÏÒÍÕÌÅ âÅÒÎÕÌÌÉ:
                                           n!
                 Pm,n = CnmP m q n−m =            pm q n−m.
                                       m!(n − m)!

Страницы