Математика. Жулева Л.Д - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

38 2. ëÏÎÔÒÏÌØÎÁÑ ÒÁÂÏÔÁ ½5
ËÒÉ×ÏÊ É ÏÓØÀ x, ÏÓÔÁÅÔÓÑ ÒÁ×ÎÏÊ ÅÄÉÎÉÃÅ ÓÏÇÌÁÓÎÏ ÕÓÌÏ×ÉÀ ÎÏÒÍÉÒÏ×ËÉ,
Ô.Å.
∞
Z
−∞
1
σ
√
2π
e
−
(x−a)
2
2σ
2
dx = 1.
úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÐÒÉ a = 0 É σ = 1 ÐÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÆÕÎËÃÉÑ:
ϕ(x) =
1
√
2π
e
−
x
2
2
,
ËÏÔÏÒÁÑ ÚÁÄÁÅÔ ÐÌÏÔÎÏÓÔØ ÎÏÒÍÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÎÏÒÍÁÌØÎÏÇÏ ÒÁÓÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ.
÷ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ ÐÏÐÁÄÁÎÉÑ ÎÏÒÍÁÌØÎÏ ÒÁÓÐÒÅÄÅÌÅÎÎÏÊ ÓÌÕÞÁÊÎÏÊ ×ÅÌÉÞÉÎÙ
× ÚÁÄÁÎÎÙÊ ÉÎÔÅÒ×ÁÌ (x
1
, x
2
) ×ÙÒÁÖÁÅÔÓÑ ÆÏÒÍÕÌÏÊ:
P (x
1
< X < x
2
) = 
x
2
− a
σ
−
x
1
− a
σ
, (∗)
ÇÄÅ (x) ¡ ÆÕÎËÃÉÑ ìÁÐÌÁÓÁ.
ðÒÉ ÒÅÛÅÎÉÉ ÚÁÄÁÞ ÞÁÓÔÏ ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÉ ÚÁÄÁÎÎÏÇÏ
ÏÔËÌÏÎÅÎÉÑ ÎÏÒÍÁÌØÎÏ ÒÁÓÐÒÅÄÅÌÅÎÎÏÊ ÓÌÕÞÁÊÎÏÊ ×ÅÌÉÞÉÎÙ, Ô.Å. ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ
ÎÁÊÔÉ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ ÏÓÕÝÅÓÔ×ÌÅÎÉÑ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á |X − a| < ε. ó ÉÓÐÏÌØÚÏ×Á-
ÎÉÅÍ ÆÏÒÍÕÌÙ (∗), ÐÏÌÕÞÁÅÍ:
P (|X − a| < ε) = 2
ε
σ
.
åÓÌÉ ε ×ÙÒÁÚÉÔØ × ÄÏÌÑÈ σ, Ô.Å. ÐÏÌÏÖÉÔØ ε = σt, ÔÏ ÐÏÌÕÞÉÍ:
P (|X − a| < σt) = 2(t).
÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÐÒÉ t = 3 ÐÏÌÕÞÁÅÍ ×ÁÖÎÏÅ ÐÒÁ×ÉÌÏ ÔÒÅÈ ÓÉÇÍ:
P (|X − a| < 3σ) = 2(3) = 0,9973.
óÍÙÓÌ ÜÔÏÇÏ ÐÒÁ×ÉÌÁ ÔÁËÏ×: 99,73% ×ÓÅÈ ÎÁÂÌÀÄÅÎÉÊ ÄÌÑ ÎÏÒÍÁÌØÎÏ ÒÁÓ-
ÐÒÅÄÅÌÅÎÎÏÊ ÓÌÕÞÁÊÎÏÊ ×ÅÌÉÞÉÎÙ ÐÏÐÁÄÁÀÔ × ÉÎÔÅÒ×ÁÌ (a − 3σ; a + 3σ).
38                                              2. ëÏÎÔÒÏÌØÎÁÑ ÒÁÂÏÔÁ ½5

ËÒÉ×ÏÊ É ÏÓØÀ x, ÏÓÔÁÅÔÓÑ ÒÁ×ÎÏÊ ÅÄÉÎÉÃÅ ÓÏÇÌÁÓÎÏ ÕÓÌÏ×ÉÀ ÎÏÒÍÉÒÏ×ËÉ,
Ô.Å.
                        Z∞         (x−a)2
                             1    − 2σ 2
                            √ e           dx = 1.
                           σ 2π
                         −∞

     úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÐÒÉ a = 0 É σ = 1 ÐÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÆÕÎËÃÉÑ:
                                   1 − x2
                           ϕ(x) = √ e 2 ,
                                   2π
ËÏÔÏÒÁÑ ÚÁÄÁÅÔ ÐÌÏÔÎÏÓÔØ ÎÏÒÍÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÎÏÒÍÁÌØÎÏÇÏ ÒÁÓÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ.




   ÷ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ ÐÏÐÁÄÁÎÉÑ ÎÏÒÍÁÌØÎÏ ÒÁÓÐÒÅÄÅÌÅÎÎÏÊ ÓÌÕÞÁÊÎÏÊ ×ÅÌÉÞÉÎÙ
× ÚÁÄÁÎÎÙÊ ÉÎÔÅÒ×ÁÌ (x1, x2) ×ÙÒÁÖÁÅÔÓÑ ÆÏÒÍÕÌÏÊ:
                                                      
                                    x2 − a        x1 − a
              P (x1 < X < x2) =             −            ,      (∗)
                                       σ             σ
ÇÄÅ (x) ¡ ÆÕÎËÃÉÑ ìÁÐÌÁÓÁ.
   ðÒÉ ÒÅÛÅÎÉÉ ÚÁÄÁÞ ÞÁÓÔÏ ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÉ ÚÁÄÁÎÎÏÇÏ
ÏÔËÌÏÎÅÎÉÑ ÎÏÒÍÁÌØÎÏ ÒÁÓÐÒÅÄÅÌÅÎÎÏÊ ÓÌÕÞÁÊÎÏÊ ×ÅÌÉÞÉÎÙ, Ô.Å. ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ
ÎÁÊÔÉ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ ÏÓÕÝÅÓÔ×ÌÅÎÉÑ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á |X − a| < ε. ó ÉÓÐÏÌØÚÏ×Á-
ÎÉÅÍ ÆÏÒÍÕÌÙ (∗), ÐÏÌÕÞÁÅÍ:
                                            ε
                       P (|X − a| < ε) = 2      .
                                             σ
åÓÌÉ ε ×ÙÒÁÚÉÔØ × ÄÏÌÑÈ σ, Ô.Å. ÐÏÌÏÖÉÔØ ε = σt, ÔÏ ÐÏÌÕÞÉÍ:
                          P (|X − a| < σt) = 2(t).
÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÐÒÉ t = 3 ÐÏÌÕÞÁÅÍ ×ÁÖÎÏÅ ÐÒÁ×ÉÌÏ ÔÒÅÈ ÓÉÇÍ:
                     P (|X − a| < 3σ) = 2(3) = 0,9973.
óÍÙÓÌ ÜÔÏÇÏ ÐÒÁ×ÉÌÁ ÔÁËÏ×: 99,73% ×ÓÅÈ ÎÁÂÌÀÄÅÎÉÊ ÄÌÑ ÎÏÒÍÁÌØÎÏ ÒÁÓ-
ÐÒÅÄÅÌÅÎÎÏÊ ÓÌÕÞÁÊÎÏÊ ×ÅÌÉÞÉÎÙ ÐÏÐÁÄÁÀÔ × ÉÎÔÅÒ×ÁÌ (a − 3σ; a + 3σ).

Страницы