Математика. Жулева Л.Д - 41 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

2.3. íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÁÑ ÓÔÁÔÉÓÔÉËÁ 41
çÉÓÔÏÇÒÁÍÍÁ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÙÈ ÞÁÓÔÏÔ
ðÕÓÔØ ÉÓÓÌÅÄÕÅÍÙÊ ÐÒÉÚÎÁË ÉÚÍÅÎÑÅÔÓÑ ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ. òÁÚÏÂØÅÍ
ÉÎÔÅÒ×ÁÌ, × ËÏÔÏÒÏÍ ÚÁËÌÀÞÅÎÙ ×ÓÅ ÎÁÂÌÀÄÁÅÍÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÐÒÉÚÎÁËÁ, ÎÁ
ÎÅÓËÏÌØËÏ ÞÁÓÔÉÞÎÙÈ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÏ× ÒÁ×ÎÏÊ ÄÌÉÎÙ h É ÎÁÊÄÅÍ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ
ÞÁÓÔÉÞÎÏÇÏ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÁ ÓÕÍÍÕ ÞÁÓÔÏÔ n
i
×ÁÒÉÁÎÔ, ÐÏÐÁ×ÛÉÈ × i-Ê ÉÎÔÅÒ×ÁÌ.
çÉÓÔÏÇÒÁÍÍÏÊ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÙÈ ÞÁÓÔÏÔ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÓÔÕÐÅÎÞÁÔÕÀ ÆÉÇÕÒÕ,
ÓÏÓÔÏÑÝÕÀ ÉÚ ÐÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÉËÏ×, ÏÓÎÏ×ÁÎÉÑÍÉ ËÏÔÏÒÙÈ ÓÌÕÖÁÔ ÞÁÓÔÉÞÎÙÅ
ÉÎÔÅÒ×ÁÌÙ ÄÌÉÎÏÊ h, Á ×ÙÓÏÔÙ ÒÁ×ÎÙ ÏÔÎÏÛÅÎÉÀ w
i
/h. üÔÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÎÁ-
ÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÐÌÏÔÎÏÓÔØÀ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏÊ ÞÁÓÔÏÔÙ. äÌÑ ÐÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÇÉÓÔÏÇÒÁÍ-
ÍÙ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÙÈ ÞÁÓÔÏÔ ÎÁ ÏÓÉ ÁÂÓÃÉÓÓ ÏÔËÌÁÄÙ×ÁÀÔ ÞÁÓÔÉÞÎÙÅ ÉÎÔÅÒ×Á-
ÌÙ, Á ÎÁÄ ÎÉÍÉ ÓÔÒÏÑÔ ÐÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÉËÉ ×ÙÓÏÔÏÊ w
i
/h. ðÌÏÝÁÄØ i-ÇÏ ÐÒÑÍÏ-
ÕÇÏÌØÎÉËÁ ÒÁ×ÎÁ h ·
w
i
h
= w
i
¡ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏÊ ÞÁÓÔÏÔÅ ×ÁÒÉÁÎÔ, ÐÏÐÁ×ÛÉÈ ×
i-Ê ÉÎÔÅÒ×ÁÌ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÐÌÏÝÁÄØ ÇÉÓÔÏÇÒÁÍÍÙ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÙÈ ÞÁÓÔÏÔ
ÒÁ×ÎÁ ÓÕÍÍÅ ×ÓÅÈ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÙÈ ÞÁÓÔÏÔ, Ô.Å. ÅÄÉÎÉÃÅ. ëÁË ÉÚ×ÅÓÔÎÏ, ÐÌÏ-
ÝÁÄØ ÐÏÄ ËÒÉ×ÏÊ ÐÌÏÔÎÏÓÔÉ ÒÁÓÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ f(x) ÔÁËÖÅ ÒÁ×ÎÁ ÅÄÉÎÉÃÅ (ÕÓÌÏ-
×ÉÅ ÎÏÒÍÉÒÏ×ËÉ). ðÏÜÔÏÍÕ ÐÏÓÔÒÏÅÎÉÅ ÇÉÓÔÏÇÒÁÍÍÙ ¡ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ×ÁÖÎÙÊ
ÛÁÇ ÄÌÑ ÓÔÁÔÉÓÔÉÞÅÓËÉÈ ×Ù×ÏÄÏ× Ï ×ÙÂÏÒÅ ÚÁËÏÎÁ ÒÁÓÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ, ËÏÔÏÒÏÍÕ
ÐÏÄÞÉÎÅÎÁ ÉÚÕÞÁÅÍÁÑ ×ÙÂÏÒËÁ.
þÉÓÌÏ×ÙÅ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÉ ×ÙÂÏÒËÉ
ðÕÓÔØ ÉÚ ÇÅÎÅÒÁÌØÎÏÊ ÓÏ×ÏËÕÐÎÏÓÔÉ ËÏÌÉÞÅÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÐÒÉÚÎÁËÁ X ÉÚ×ÌÅ-
ÞÅÎÁ ×ÙÂÏÒËÁ ÏÂßÅÍÁ n. äÌÑ ÜÔÏÊ ×ÙÂÏÒËÉ ÎÁÄÏ ÐÏÄÓÞÉÔÁÔØ ÓÒÅÄÎÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ
É ÄÉÓÐÅÒÓÉÀ (ÍÅÒÕ ÒÁÚÂÒÏÓÁ ÉÌÉ ÒÁÓÓÅÉ×ÁÎÉÑ ÏËÏÌÏ ÓÒÅÄÎÅÇÏ ÚÎÁÞÅÎÉÑ).
÷ÙÂÏÒÏÞÎÏÊ ÓÒÅÄÎÅÊ
x ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÒÅÄÎÅÅ ÁÒÉÆÍÅÔÉÞÅÓËÏÅ ×ÓÅÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ
×ÙÂÏÒËÉ x
1
, x
2
, . . ., x
n
. åÓÌÉ ÏÎÉ ×ÓÅ ÒÁÚÌÉÞÎÙ, ÔÏ
x =
1
n
n
X
i=1
x
i
.
åÓÌÉ ÖÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ x
i
×ÓÔÒÅÞÁÀÔÓÑ × ×ÙÂÏÒËÅ Ó ÞÁÓÔÏÔÏÊ n
i
, ÐÒÉÞÅÍ n
1
+ n
2
+
. . . + n
k
= n, ÔÏ
x =
n
1
x
1
+ n
2
x
2
+ . . . + n
k
x
k
n
ÉÌÉ
x =
1
n
k
X
i=1
n
i
x
i
.
òÅÚÕÌØÔÁÔÏÍ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ×ÙÂÏÒÏÞÎÏÊ ÓÒÅÄÎÅÊ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÞÉÓÌÏ, ËÏÔÏÒÏÅ ÎÁ
ÞÉÓÌÏ×ÏÊ ÏÓÉ ÉÚÏÂÒÁÖÁÅÔÓÑ ÔÏÞËÏÊ. ðÏÜÔÏÍÕ ÐÏÌÕÞÉ×ÛÅÅÓÑ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÎÁÚÙ-
×ÁÅÔÓÑ ÔÏÞÅÞÎÏÊ ÏÃÅÎËÏÊ ÔÅÏÒÅÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÓÒÅÄÎÅÇÏ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ¡ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅ-
ÓËÏÇÏ ÏÖÉÄÁÎÉÑ.
2.3. íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÁÑ ÓÔÁÔÉÓÔÉËÁ                                        41

   çÉÓÔÏÇÒÁÍÍÁ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÙÈ ÞÁÓÔÏÔ
   ðÕÓÔØ ÉÓÓÌÅÄÕÅÍÙÊ ÐÒÉÚÎÁË ÉÚÍÅÎÑÅÔÓÑ ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ. òÁÚÏÂØÅÍ
ÉÎÔÅÒ×ÁÌ, × ËÏÔÏÒÏÍ ÚÁËÌÀÞÅÎÙ ×ÓÅ ÎÁÂÌÀÄÁÅÍÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÐÒÉÚÎÁËÁ, ÎÁ
ÎÅÓËÏÌØËÏ ÞÁÓÔÉÞÎÙÈ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÏ× ÒÁ×ÎÏÊ ÄÌÉÎÙ h É ÎÁÊÄÅÍ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ
ÞÁÓÔÉÞÎÏÇÏ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÁ ÓÕÍÍÕ ÞÁÓÔÏÔ ni ×ÁÒÉÁÎÔ, ÐÏÐÁ×ÛÉÈ × i-Ê ÉÎÔÅÒ×ÁÌ.
   çÉÓÔÏÇÒÁÍÍÏÊ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÙÈ ÞÁÓÔÏÔ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÓÔÕÐÅÎÞÁÔÕÀ ÆÉÇÕÒÕ,
ÓÏÓÔÏÑÝÕÀ ÉÚ ÐÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÉËÏ×, ÏÓÎÏ×ÁÎÉÑÍÉ ËÏÔÏÒÙÈ ÓÌÕÖÁÔ ÞÁÓÔÉÞÎÙÅ
ÉÎÔÅÒ×ÁÌÙ ÄÌÉÎÏÊ h, Á ×ÙÓÏÔÙ ÒÁ×ÎÙ ÏÔÎÏÛÅÎÉÀ wi/h. üÔÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÎÁ-
ÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÐÌÏÔÎÏÓÔØÀ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏÊ ÞÁÓÔÏÔÙ. äÌÑ ÐÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÇÉÓÔÏÇÒÁÍ-
ÍÙ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÙÈ ÞÁÓÔÏÔ ÎÁ ÏÓÉ ÁÂÓÃÉÓÓ ÏÔËÌÁÄÙ×ÁÀÔ ÞÁÓÔÉÞÎÙÅ ÉÎÔÅÒ×Á-
ÌÙ, Á ÎÁÄ ÎÉÍÉ ÓÔÒÏÑÔ ÐÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÉËÉ ×ÙÓÏÔÏÊ wi/h. ðÌÏÝÁÄØ i-ÇÏ ÐÒÑÍÏ-
ÕÇÏÌØÎÉËÁ ÒÁ×ÎÁ h · whi = wi ¡ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏÊ ÞÁÓÔÏÔÅ ×ÁÒÉÁÎÔ, ÐÏÐÁ×ÛÉÈ ×
i-Ê ÉÎÔÅÒ×ÁÌ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÐÌÏÝÁÄØ ÇÉÓÔÏÇÒÁÍÍÙ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÙÈ ÞÁÓÔÏÔ
ÒÁ×ÎÁ ÓÕÍÍÅ ×ÓÅÈ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÙÈ ÞÁÓÔÏÔ, Ô.Å. ÅÄÉÎÉÃÅ. ëÁË ÉÚ×ÅÓÔÎÏ, ÐÌÏ-
ÝÁÄØ ÐÏÄ ËÒÉ×ÏÊ ÐÌÏÔÎÏÓÔÉ ÒÁÓÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ f (x) ÔÁËÖÅ ÒÁ×ÎÁ ÅÄÉÎÉÃÅ (ÕÓÌÏ-
×ÉÅ ÎÏÒÍÉÒÏ×ËÉ). ðÏÜÔÏÍÕ ÐÏÓÔÒÏÅÎÉÅ ÇÉÓÔÏÇÒÁÍÍÙ ¡ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ×ÁÖÎÙÊ
ÛÁÇ ÄÌÑ ÓÔÁÔÉÓÔÉÞÅÓËÉÈ ×Ù×ÏÄÏ× Ï ×ÙÂÏÒÅ ÚÁËÏÎÁ ÒÁÓÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ, ËÏÔÏÒÏÍÕ
ÐÏÄÞÉÎÅÎÁ ÉÚÕÞÁÅÍÁÑ ×ÙÂÏÒËÁ.
   þÉÓÌÏ×ÙÅ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÉ ×ÙÂÏÒËÉ
   ðÕÓÔØ ÉÚ ÇÅÎÅÒÁÌØÎÏÊ ÓÏ×ÏËÕÐÎÏÓÔÉ ËÏÌÉÞÅÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÐÒÉÚÎÁËÁ X ÉÚ×ÌÅ-
ÞÅÎÁ ×ÙÂÏÒËÁ ÏÂßÅÍÁ n. äÌÑ ÜÔÏÊ ×ÙÂÏÒËÉ ÎÁÄÏ ÐÏÄÓÞÉÔÁÔØ ÓÒÅÄÎÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ
É ÄÉÓÐÅÒÓÉÀ (ÍÅÒÕ ÒÁÚÂÒÏÓÁ ÉÌÉ ÒÁÓÓÅÉ×ÁÎÉÑ ÏËÏÌÏ ÓÒÅÄÎÅÇÏ ÚÎÁÞÅÎÉÑ).
   ÷ÙÂÏÒÏÞÎÏÊ ÓÒÅÄÎÅÊ x ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÒÅÄÎÅÅ ÁÒÉÆÍÅÔÉÞÅÓËÏÅ ×ÓÅÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ
×ÙÂÏÒËÉ x1, x2, . . ., xn . åÓÌÉ ÏÎÉ ×ÓÅ ÒÁÚÌÉÞÎÙ, ÔÏ
                                     n
                                 1X
                              x=       xi .
                                 n i=1

åÓÌÉ ÖÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ xi ×ÓÔÒÅÞÁÀÔÓÑ × ×ÙÂÏÒËÅ Ó ÞÁÓÔÏÔÏÊ ni, ÐÒÉÞÅÍ n1 + n2 +
. . . + nk = n, ÔÏ
                           n1 x1 + n 2 x2 + . . . + n k xk
                       x=
                                          n
ÉÌÉ
                                        k
                                   1X
                              x=           ni xi .
                                   n i=1
   òÅÚÕÌØÔÁÔÏÍ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ×ÙÂÏÒÏÞÎÏÊ ÓÒÅÄÎÅÊ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÞÉÓÌÏ, ËÏÔÏÒÏÅ ÎÁ
ÞÉÓÌÏ×ÏÊ ÏÓÉ ÉÚÏÂÒÁÖÁÅÔÓÑ ÔÏÞËÏÊ. ðÏÜÔÏÍÕ ÐÏÌÕÞÉ×ÛÅÅÓÑ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÎÁÚÙ-
×ÁÅÔÓÑ ÔÏÞÅÞÎÏÊ ÏÃÅÎËÏÊ ÔÅÏÒÅÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÓÒÅÄÎÅÇÏ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ¡ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅ-
ÓËÏÇÏ ÏÖÉÄÁÎÉÑ.

Страницы