Математика. Жулева Л.Д - 74 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

74 3. ëÏÎÔÒÏÌØÎÁÑ ÒÁÂÏÔÁ ½6
äÁÎÁ ÓÉÓÔÅÍÁ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ:
a
11
x
1
+ a
12
x
2
+ . . . + a
1n
x
n
= b
1
a
21
x
1
+ a
22
x
2
+ . . . + a
2n
x
n
= b
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
m1
x
1
+ a
m2
x
2
+ . . . + a
mn
x
m
= b
m
(1)
É ÌÉÎÅÊÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ
f = c
1
x
1
+ c
2
x
2
+ . . . + c
n
x
n
. (2)
ôÒÅÂÕÅÔÓÑ ÎÁÊÔÉ ÔÁËÏÅ ÎÅÏÔÒÉÃÁÔÅÌØÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÓÉÓÔÅÍÙ (1)
x
1
> 0, x
2
> 0, . . . , x
n
> 0, (3)
ÐÒÉ ËÏÔÏÒÏÍ ÆÕÎËÃÉÑ f ÐÒÉÎÉÍÁÅÔ ÎÁÉÍÅÎØÛÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ (ÍÉÎÉÍÉÚÉÒÕÅÔÓÑ).
õÒÁ×ÎÅÎÉÑ (1) ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÑÍÉ ÄÁÎÎÏÊ ÚÁÄÁÞÉ. åÓÌÉ ÏÇÒÁÎÉÞÅ-
ÎÉÑ ÚÁÄÁÎÙ × ×ÉÄÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ× (ËÁË × ÚÁÄÁÞÅ Ï ×ÙÂÏÒÅ ÒÅÓÕÒÓÏ×, × ÚÁÄÁÞÅ
Ï ÄÉÅÔÅ), ÔÏ Ó ÐÏÍÏÝØÀ ÐÒÏÓÔÏÇÏ ÐÒÉÅÍÁ ÍÏÖÎÏ ÐÅÒÅÊÔÉ Ë ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙÍ
ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÑÍ, ÚÁÄÁÎÎÙÍ × ×ÉÄÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ.
íÎÏÖÅÓÔ×Ï X ÒÅÛÅÎÉÊ ÓÉÓÔÅÍÙ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ (1) (ÉÌÉ ÎÅÒÁ-
×ÅÎÓÔ×), ÎÁ ËÏÔÏÒÏÍ ÉÝÅÔÓÑ ÍÉÎÉÍÕÍ ÆÕÎËÃÉÉ f, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ
ÄÏÐÕÓÔÉÍÙÈ ÒÅÛÅÎÉÊ ÚÁÄÁÞÉ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÐÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ. äÏÐÕÓÔÉÍÏÅ ÒÅ-
ÛÅÎÉÅ, ÄÁÀÝÅÅ ÍÉÎÉÍÕÍ ÆÕÎËÃÉÉ f, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÐÔÉÍÁÌØÎÙÍ.
ïÐÔÉÍÁÌØÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÚÁÄÁÞÉ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÐÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÍÏÖÅÔ ÎÅ ÓÕ-
ÝÅÓÔ×Ï×ÁÔØ, ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÍ, ÌÉÂÏ ÔÁËÉÈ ÏÐÔÉÍÁÌØÎÙÈ ÒÅÛÅÎÉÊ
ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÂÅÓÞÉÓÌÅÎÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï.
æÕÎËÃÉÀ f × ×ÉÄÅ (2) ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÆÏÒÍÏÊ ÉÌÉ ÃÅÌÅ×ÏÊ ÆÕÎËÃÉÅÊ.
ðÏËÁÖÅÍ, ËÁË ÐÅÒÅÊÔÉ ÏÔ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÊ × ÆÏÒÍÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ× Ë ÏÇÒÁÎÉÞÅ-
ÎÉÑÍ, ÚÁÄÁÎÎÙÍ × ×ÉÄÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ.
ðÒÅÄÐÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ÓÒÅÄÉ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÊ ÚÁÄÁÞÉ ÉÍÅÅÔÓÑ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï:
a
1
x
1
+ a
2
x
2
+ . . . + a
n
x
n
− b
1
> 0 (4)
÷×ÅÄÅÍ ÎÏ×ÏÅ ÄÏÂÁ×ÏÞÎÏÅ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÏÅ x
n+1
, Ó×ÑÚÁÎÎÏÅ Ó ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÙÍÉ x
1
, x
2
,
. . ., x
n
ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ
a
1
x
1
+ a
2
x
2
+ . . . + a
n
x
n
− b
n
= x
n+1
. (5)
õÒÁ×ÎÅÎÉÅ (5) ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ ÎÅÏÔÒÉÃÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ x
n+1
,
x
n+1
> 0.
åÓÌÉ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÉÚ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×, ×ÈÏÄÑÝÉÈ × ÓÉÓÔÅÍÕ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÊ ÚÁÄÁ-
ÞÉ, ××ÅÓÔÉ Ó×ÏÅ ÄÏÂÁ×ÏÞÎÏÅ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÏÅ, ÐÏÔÒÅÂÏ×Á× ÄÏÐÏÌÎÉÔÅÌØÎÏ, ÞÔÏÂÙ
×ÓÅ ÄÏÂÁ×ÏÞÎÙÅ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÙÅ ÂÙÌÉ ÎÅÏÔÒÉÃÁÔÅÌØÎÙ, ÔÏ ÚÁÄÁÞÁ ÐÒÉÍÅÔ ÓÔÁÎ-
ÄÁÒÔÎÕÀ ÆÏÒÍÕ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ (1), (2), (3). ÷ÏÚÍÏÖÎÏ É ÏÂÒÁÔÎÏÅ Ó×ÅÄÅÎÉÅ, Ô.Å.
74                                                         3. ëÏÎÔÒÏÌØÎÁÑ ÒÁÂÏÔÁ ½6

     äÁÎÁ ÓÉÓÔÅÍÁ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ:
                    
                     a x + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1
                     11 1
                    
                      a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn = b2
                                                                                (1)
                    
                     ..................................
                     a x + a x + ...+ a x = b
                       m1 1      m2 2             mn m      m

É ÌÉÎÅÊÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ
                           f = c 1 x1 + c 2 x2 + . . . + c n xn .               (2)
ôÒÅÂÕÅÔÓÑ ÎÁÊÔÉ ÔÁËÏÅ ÎÅÏÔÒÉÃÁÔÅÌØÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÓÉÓÔÅÍÙ (1)
                         x1 > 0,     x2 > 0,     ...,     xn > 0,               (3)
ÐÒÉ ËÏÔÏÒÏÍ ÆÕÎËÃÉÑ f ÐÒÉÎÉÍÁÅÔ ÎÁÉÍÅÎØÛÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ (ÍÉÎÉÍÉÚÉÒÕÅÔÓÑ).
õÒÁ×ÎÅÎÉÑ (1) ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÑÍÉ ÄÁÎÎÏÊ ÚÁÄÁÞÉ. åÓÌÉ ÏÇÒÁÎÉÞÅ-
ÎÉÑ ÚÁÄÁÎÙ × ×ÉÄÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ× (ËÁË × ÚÁÄÁÞÅ Ï ×ÙÂÏÒÅ ÒÅÓÕÒÓÏ×, × ÚÁÄÁÞÅ
Ï ÄÉÅÔÅ), ÔÏ Ó ÐÏÍÏÝØÀ ÐÒÏÓÔÏÇÏ ÐÒÉÅÍÁ ÍÏÖÎÏ ÐÅÒÅÊÔÉ Ë ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙÍ
ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÑÍ, ÚÁÄÁÎÎÙÍ × ×ÉÄÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ.
   íÎÏÖÅÓÔ×Ï X ÒÅÛÅÎÉÊ ÓÉÓÔÅÍÙ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ (1) (ÉÌÉ ÎÅÒÁ-
×ÅÎÓÔ×), ÎÁ ËÏÔÏÒÏÍ ÉÝÅÔÓÑ ÍÉÎÉÍÕÍ ÆÕÎËÃÉÉ f , ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ
ÄÏÐÕÓÔÉÍÙÈ ÒÅÛÅÎÉÊ ÚÁÄÁÞÉ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÐÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ. äÏÐÕÓÔÉÍÏÅ ÒÅ-
ÛÅÎÉÅ, ÄÁÀÝÅÅ ÍÉÎÉÍÕÍ ÆÕÎËÃÉÉ f , ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÐÔÉÍÁÌØÎÙÍ.
   ïÐÔÉÍÁÌØÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÚÁÄÁÞÉ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÐÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÍÏÖÅÔ ÎÅ ÓÕ-
ÝÅÓÔ×Ï×ÁÔØ, ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÍ, ÌÉÂÏ ÔÁËÉÈ ÏÐÔÉÍÁÌØÎÙÈ ÒÅÛÅÎÉÊ
ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÂÅÓÞÉÓÌÅÎÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï.
   æÕÎËÃÉÀ f × ×ÉÄÅ (2) ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÆÏÒÍÏÊ ÉÌÉ ÃÅÌÅ×ÏÊ ÆÕÎËÃÉÅÊ.
   ðÏËÁÖÅÍ, ËÁË ÐÅÒÅÊÔÉ ÏÔ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÊ × ÆÏÒÍÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ× Ë ÏÇÒÁÎÉÞÅ-
ÎÉÑÍ, ÚÁÄÁÎÎÙÍ × ×ÉÄÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ.
   ðÒÅÄÐÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ÓÒÅÄÉ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÊ ÚÁÄÁÞÉ ÉÍÅÅÔÓÑ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï:
                         a1 x1 + a 2 x2 + . . . + a n xn − b 1 > 0              (4)
÷×ÅÄÅÍ ÎÏ×ÏÅ ÄÏÂÁ×ÏÞÎÏÅ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÏÅ xn+1, Ó×ÑÚÁÎÎÏÅ Ó ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÙÍÉ x1, x2,
. . ., xn ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ
                       a1 x1 + a2 x2 + . . . + an xn − bn = xn+1.               (5)
õÒÁ×ÎÅÎÉÅ (5) ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ ÎÅÏÔÒÉÃÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ xn+1,
                                       xn+1 > 0.
åÓÌÉ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÉÚ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×, ×ÈÏÄÑÝÉÈ × ÓÉÓÔÅÍÕ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÊ ÚÁÄÁ-
ÞÉ, ××ÅÓÔÉ Ó×ÏÅ ÄÏÂÁ×ÏÞÎÏÅ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÏÅ, ÐÏÔÒÅÂÏ×Á× ÄÏÐÏÌÎÉÔÅÌØÎÏ, ÞÔÏÂÙ
×ÓÅ ÄÏÂÁ×ÏÞÎÙÅ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÙÅ ÂÙÌÉ ÎÅÏÔÒÉÃÁÔÅÌØÎÙ, ÔÏ ÚÁÄÁÞÁ ÐÒÉÍÅÔ ÓÔÁÎ-
ÄÁÒÔÎÕÀ ÆÏÒÍÕ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ (1), (2), (3). ÷ÏÚÍÏÖÎÏ É ÏÂÒÁÔÎÏÅ Ó×ÅÄÅÎÉÅ, Ô.Å.

Страницы