Теоретическая механика. Кинематика. Калабин Н.Ф - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИВГПУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

6
Пример К1а. Даны уравнения движения точки в плоскости :xy
;3)t
4
cos(2x +
π
−=
1)t
8
sin(2y −
π
=
(x,y - в сантиметрах, t - в секундах).
Определить уравнение траектории точки; для момента времени
1
t =1 (с) найти скорость и
ускорение точки, а также ее касательное и нормальное ускорения и радиус кривизны в
соответствующей точке траектории.
Решение. 1. Для определения уравнения траектории точки исключим из заданных уравнений
движения время t. Поскольку t входит в аргументы тригонометрических функций, где один аргу мент
вдвое больше другого, используем формулу
α−=α
2
sin212cos или )t
8
(sin21)t
4
cos(
2
π
−=
π
. (1)
Из уравнения движения находим выражения соответствующих функций и подставляем в
равенство (1). Получим
2
x3
)t
4
cos(
−
=
π
,
2
1y
)t
8
sin(
+
=
π
,
следовательно,
4
)1y(
21
2
x3
2
+
−=
−
.
Отсюда окончательно находим следующее уравнение траектории точки (параболы, рис. К1а)
: 
Пример К1а. Даны уравнения движения точки в плоскости xy :

                                    π                                 π
                         x = −2 cos( t ) + 3;               y = 2 sin( t ) − 1
                                    4                                 8

(x,y - в сантиметрах, t - в секундах).
        Определить уравнение траектории точки; для момента времени t 1 =1 (с) найти скорость и
ускорение точки, а также ее касательное и нормальное ускорения и радиус кривизны в
соответствующей точке траектории.
        Решение. 1. Для определения уравнения траектории точки исключим из заданных уравнений
движения время t. Поскольку t входит в аргументы тригонометрических функций, где один аргумент
вдвое больше другого, используем формулу
                                                                   π                   π
                                    cos 2α = 1 − 2 sin 2 α или cos( t ) = 1 − 2 sin 2 ( t ) . (1)
                                                                   4                   8
        Из уравнения движения находим выражения соответствующих функций и подставляем в
равенство (1). Получим

                                 π      3− x                π      y +1
                           cos( t ) =           ,       sin( t ) =      ,
                                 4       2                  8        2
               3− x        ( y + 1) 2
следовательно,      = 1− 2            .
                2              4




       Отсюда окончательно находим следующее уравнение траектории точки (параболы, рис. К1а) :
                                                    6

Страницы