Механика системы частиц. Камзолов С.К - 10 стр.

тегрируя угловое ускорение
           ω = ∫ β ⋅ dt + C1 =β ⋅ t + C1 .
     Как обычно, постоянную интегрирования
С1 найдем с помощью начального условия ω = 0
                                                                Рис. 2.1.
при t = 0. Тогда С1 = 0,   ω=β   .
                                     t и величину полного ускорения можно рассчи-
тать по формуле
                  a = aτ2 + an2 = β 2 ⋅ R 2 + ω 4 ⋅ R 2 =
                = β 2 ⋅ R2 + β 4 ⋅ t 4 ⋅ R2 = β ⋅ R 1 + β 2 ⋅ t 4 .
     Подставив в нее числовые значения, получаем a ≈ 0,13 м/с2. Направление
вектора полного ускорения выразим с помощью тангенса угла α между векто-
рами полного и нормального ускорений
                           aτ   β ⋅R   β      1
                   tgα =      = 2    = 2 2=        = 0,4.
                           an ω ⋅ R β ⋅ t   β ⋅ t2
    Заметим, что с течением времени tgα→ 0 и полное ускорение в основном
будет определяться нормальным ускорением.
    Количество оборотов турбины N связано с углом поворота ϕ = 2πN, кото-
рый определим, интегрируя угловую скорость
                                                           β ⋅ t2
                ϕ = ∫ ω ⋅ dt + C2 = ∫ β ⋅ t ⋅ dt + C2 =             + C2 .
                                                             2
     Постоянная интегрирования С2 определяется тоже из начального условия:
ϕ = 0 при t = 0. Получаем С2 = 0. Тогда
                                ϕ β ⋅ t2
                             N=    =     ≈ 0,2.
                                2π   4π
    Пример 6
    На гладкой горизонтальной поверхности лежит квадратная рамка, в вер-
шинах которой закреплено по одному шару массой m. В один из них ударяется
и прилипает еще один шар, такой же массы. Его скорость перед ударом направ-
лена вдоль одной из сторон квадрата и равна V = 12 м/с. Считая рамку доста-
точно жесткой и невесомой, определить угловую скорость образовавшейся сис-
темы относительно вертикальной оси, проходящей через центр масс. Сторона
квадрата а = 0,2 м, размерами шаров можно пренебречь.

                                 Решение
    Очевидно, что центр масс образовавшейся системы из пяти шаров нахо-
дится на оси симметрии, совпадающей с диагональю квадрата, на которой на-