Механика системы частиц. Камзолов С.К - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

При вращении твердого тела вокруг закрепленной оси
z его проекцию мо-
мента импульса на эту ось можно представить в виде
ω
zzz
LI
=
⋅ , (2.5)
где
I
z
называется моментом инерции твердого тела относительно рассматри-
ваемой оси
z. Физический смысл момента инерции можно уяснить, сопоставив
формулы и динамические величины вращательного и поступательного движе-
ния, приведенные в таблице 2.1.
Таблица 2.1. Характеристики движения твердого тела.
Поступательное движение. Вращательное движение
Масса (инерция) – m Момент инерции - I
Сила - F
r
Момент силы -
M
rF=×
r
r
r
Проекция импульса –
x
x
PmV=
Проекция момента импульса –
ω
zzz
LI
=
⋅
Уравнение динамики (проекция).
x
x
x
dP
Fma
dt
==⋅
β
z
zz
dL
M
I
dt
=
=⋅
(2.7)
Кинетическая энергия.
2
2
mV
T =
2
ω
2
I
T =
(2.8)
Мощность.
V
NFV=⋅
ω
ωNM
⋅
(2.9)
Работа.
V
A
Fdl=⋅
∫
ω
φ
A
Md
=
⋅
∫
(2.10)
Во всех случаях наблюдается соответствие между моментом инерции и
массой. Поэтому можно сделать заключение, что момент инерции характеризу-
ет инертные свойства тела во вращательном движении. Например, закон сохра-
нения проекции момента импульса для системы тел при условии отсутствия
проекции момента действующих сил 0
iz
i
M
=
∑
можно записать в виде
ω
iz iz
i
I
const⋅=
∑
. (2.6)
Этот закон в сочетании с законом сохранения полной механической энер-
гии является эффективным инструментом при решении большого класса задач
на вращательное движение твердого тела.
Величина момента инерции твердого тела зависит от массы и ее распреде-
ления относительно оси вращения. Задача расчета момента инерции сводится к
суммированию в случае дискретного распределения
массы или к интегрирова-
нию при непрерывном распределении массы в объеме
V по формулам
2
zii
i
I
mr=⋅
∑
или
2
ρ
z
V
I
rdV
=
⋅⋅
∫
, (2.11) 
    При вращении твердого тела вокруг закрепленной оси        z его проекцию мо-
мента импульса на эту ось можно представить в виде
                                    Lz = I z ⋅ ω z ,                       (2.5)
где Iz называется моментом инерции твердого тела относительно рассматри-
ваемой оси z. Физический смысл момента инерции можно уяснить, сопоставив
формулы и динамические величины вращательного и поступательного движе-
ния, приведенные в таблице 2.1.
     Таблица 2.1. Характеристики движения твердого тела.
     Поступательное движение.           Вращательное движение
Масса (инерция) – m                    Момент инерции - I
                    r                                          r r r
Сила -             F                   Момент силы -           M =r×F
Проекция импульса –                    Проекция момента импульса –
              Px = mVx                              Lz = I z ⋅ ω z
                     Уравнение динамики (проекция).
               dP                                      dL
          Fx = x = m ⋅ ax                        M z = z = Iz ⋅β
                dt                                      dt                 (2.7)
                           Кинетическая энергия.
                       2
                   mV                                     Iω2
              T=                                     T=                    (2.8)
                     2                                      2
                                Мощность.
             N = FV ⋅ V                             N = Mω ⋅ ω             (2.9)
                                 Работа.
             A = ∫ FV ⋅ dl                        A = ∫ M ω ⋅ dφ          (2.10)
     Во всех случаях наблюдается соответствие между моментом инерции и
массой. Поэтому можно сделать заключение, что момент инерции характеризу-
ет инертные свойства тела во вращательном движении. Например, закон сохра-
нения проекции момента импульса для системы тел при условии отсутствия
проекции момента действующих сил ∑ M iz = 0 можно записать в виде
                                      i

                                      ∑ Iiz ⋅ ωiz = const .                (2.6)
                                          i
     Этот закон в сочетании с законом сохранения полной механической энер-
гии является эффективным инструментом при решении большого класса задач
на вращательное движение твердого тела.
     Величина момента инерции твердого тела зависит от массы и ее распреде-
ления относительно оси вращения. Задача расчета момента инерции сводится к
суммированию в случае дискретного распределения массы или к интегрирова-
нию при непрерывном распределении массы в объеме V по формулам
                        I z = ∑ mi ⋅ ri2 или   I z = ∫ ρ ⋅ r 2 ⋅ dV , (2.11)
                             i                          V

Страницы