Статистическая физика и термодинамика. Камзолов С.К - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

16
2. Сравнить получаемое газом количество теплоты.
Решение
1) Построим графики процессов в P–V ко-
ординатах (рис. 2.2). Работа газа в каждом слу-
чае соответствует площади под линией, изо-
бражающей процесс. Тогда очевидно, что
А
1-2
<
А
1-3
.
Для подтверждения этого вывода восполь-
зуемся формулой
(2.4). При изобарном процес-
се она легко преобразуется к виду
A
1-3
= P
1
(V
2
– V
1
) = P
1
(2V
1
– V
1
) = P
1
V
1
.
При изотермическом процессе давление является функцией объема газа.
Из уравнения состояния
следует, что
1
νRT
P
V
= . Тогда
2
1
2
12 1 1 11
1
1
ln ln 2
V
V
V
A νRT dV νRT PV
VV
−
===
∫
.
Так как ln 2 < 1, то А
1-2
<
А
1-3
.
2) Для определения получаемого в процессах количества теплоты исполь-
зуем первое начало термодинамики. При изотермическом процессе
Δ
U = 0. То-
гда Q
1-2
= A
1-2
= P
1
V
1
ln 2.
При изобарном процессе Q
1-3
=
Δ
U
1-3
+ A
1-3
, где
Δ
U
1-3
можно определить по
формуле (2.7)
. С учетом уравнения состояния идеального газа ее можно преоб-
разовать к виду
1
13 11 11
Δ 1
ΔΔ
1
V
VV
C
PV
U ν CTC PV PV
RR γ
−
=⋅ ⋅ = = =
−
.
Так как 1 <
γ
< 1,66, то
1
ln 2 1
1
γ
<<
−
. Следовательно, Q
1-3
> Q
1-2
.
Пример 3(б)
Для получения низких температур производят адиабатическое расшире-
ние гелия, имевшего первоначальную температуру Т
0
= 300 К и объем V
0
= 10 л.
При этом давление падает от Р
0
= 5 МПа до Р = 0,2 МПа. Найти объем и
температуру гелия в конечном состоянии. Для гелия показатель адиабаты
γ
=
1,66.
P
1 P = const 3
P
1
T = const 2
V
1
2V
1
V
Рис. 2.2. 
                                   16
  2.       Сравнить получаемое газом количество теплоты.
 P
                                                            Решение
         1 P = const 3
 P1                                      1) Построим графики процессов в P–V ко-
                                    ординатах (рис. 2.2). Работа газа в каждом слу-
                                    чае соответствует площади под линией, изо-
           T = const 2              бражающей процесс. Тогда очевидно, что
                                                          А1-2 < А1-3.
                                         Для подтверждения этого вывода восполь-
         V1         2V1       V     зуемся формулой (2.4). При изобарном процес-
          Рис. 2.2.                 се она легко преобразуется к виду

                            A1-3 = P1(V2 – V1) = P1 (2V1 – V1) = P1V1.

    При изотермическом процессе давление является функцией объема газа.
                                        νRT1
Из уравнения состояния следует, что P =      . Тогда
                                         V
                                     V2
                                          1             V
                          A1−2 = νRT1 ∫     dV = νRT1 ln 2 = PV
                                                              1 1 ln 2 .
                                     V1
                                          V             V1
    Так как ln 2 < 1, то А1-2 < А1-3.
    2) Для определения получаемого в процессах количества теплоты исполь-
зуем первое начало термодинамики. При изотермическом процессе ΔU = 0. То-
гда Q1-2 = A1-2 = P1V1ln 2.
При изобарном процессе Q1-3 =ΔU1-3 + A1-3, где ΔU1-3 можно определить по
формуле (2.7). С учетом уравнения состояния идеального газа ее можно преоб-
разовать к виду
                              P ΔV CV             1
     ΔU1−3 = ν ⋅ CV ⋅ ΔT = CV 1   =       1 1=
                                         PV           1 1.
                                                     PV
                                R     R         γ −1
                                          1
    Так как 1 < γ < 1,66, то ln 2 < 1 <      . Следовательно, Q1-3 > Q1-2.
                                        γ −1




      Пример 3(б)
      Для получения низких температур производят адиабатическое расшире-
ние гелия, имевшего первоначальную температуру Т0 = 300 К и объем V0 = 10 л.
При этом давление падает от Р0 = 5 МПа до Р = 0,2 МПа. Найти объем и
температуру гелия в конечном состоянии. Для гелия показатель адиабаты γ =
1,66.

Страницы