Математика. Часть 1. Карелина И.Г. - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

причем множества A
1
, A
2
, A
3
попарно не пересекаются, так как
A
1
∩ A
2
=
h
0;
1
3
∩
h
1
3
;
2
3
= ∅,
A
1
∩ A
3
=
h
0;
1
3
∩
h
2
3
; 1
i
= ∅,
A
2
∩ A
3
=
h
1
3
;
2
3
∩
h
2
3
; 1
i
= ∅.
Таким образом, множества A
1
, A
2
, A
3
являются разбиением множества A.
1.4. Свойства операций над множествами
Введенные операции над множествами подчиняются следующим законам
1. A ∩A = A, A ∪ A = A;
2. A ∩ A = ∅, A ∪ A = U;
3. A ∩ U = A, A ∪ U = U;
4. A ∩ ∅ = ∅, A ∪ ∅ = A;
5. A ∩ B = A ∪ B, A ∪ B = A ∩ B;
6. A ∩ B = B ∩A, A ∪ B = B ∪A;
7. (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C),
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C);
8. (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C),
(A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C).
Доказательство.
1. Поскольку речь в утверждении идет о двух равных множествах A и A, то оба
они состоят из одних и тех же элементов, поэтому их пересечение (объединение)
будет совпадать с самим множеством A.
2. Пусть произвольный элемент a ∈ A, тогда согласно определению дополне-
ния множества A до универсального множества U этот элемент a /∈ A, поэтому
их пересечение пусто. Объединение дает универсальное множество U, так как
любой элемент универсального множества принадлежит либо множеству A, ли-
бо A.
3. Это свойство следует из того, что A ⊂ U.
4. Поскольку пустое множество не содержит ни одного элемента, то общих
элементов у пустого множества и любого другого нет, поэтому пересечение пу-
стого множества и A пусто, а их объединением является множество A.
11
причем множества A1 , A2 , A3 попарно не пересекаются, так как
                                   �     � �     �
                                       1     1 2
                       A1 ∩ A2 = 0; 3 ∩ 3 ; 3 = ∅,
                                   �     � �     �
                                       1     2
                       A1 ∩ A3 = 0; 3 ∩ 3 ; 1 = ∅,
                                   �     � �     �
                                     1 2     2
                       A2 ∩ A3 = 3 ; 3 ∩ 3 ; 1 = ∅.

Таким образом, множества A1 , A2 , A3 являются разбиением множества A.

  1.4. Свойства операций над множествами

  Введенные операции над множествами подчиняются следующим законам

            1. A ∩ A = A,                         A ∪ A = A;
            2. A ∩ A = ∅,                         A ∪ A = U;
            3. A ∩ U = A,                         A ∪ U = U;
            4. A ∩ ∅ = ∅,                         A ∪ ∅ = A;
            5. A ∩ B = A ∪ B,                     A ∪ B = A ∩ B;
            6. A ∩ B = B ∩ A,                     A ∪ B = B ∪ A;
            7. (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C),
               (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C);
            8. (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C),
               (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C).

   � Доказательство.
   1. Поскольку речь в утверждении идет о двух равных множествах A и A, то оба
они состоят из одних и тех же элементов, поэтому их пересечение (объединение)
будет совпадать с самим множеством A.
   2. Пусть произвольный элемент a ∈ A, тогда согласно определению дополне-
ния множества A до универсального множества U этот элемент a ∈   / A, поэтому
их пересечение пусто. Объединение дает универсальное множество U , так как
любой элемент универсального множества принадлежит либо множеству A, ли-
бо A.
   3. Это свойство следует из того, что A ⊂ U.
   4. Поскольку пустое множество не содержит ни одного элемента, то общих
элементов у пустого множества и любого другого нет, поэтому пересечение пу-
стого множества и A пусто, а их объединением является множество A.

                                      11

Страницы