Математика. Часть 1. Карелина И.Г. - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

5. Так как A ∩ B = U\(A ∩ B), A = U\A, B = U\B, то свойство 4 можно
переписать в виде
U\(A ∩ B) = (U\A) ∪ (U\B).
Пусть теперь произвольный элемент a ∈ U\(A ∩B), тогда по определению раз-
ности множеств a ∈ U и a /∈ A ∩ B, откуда либо a /∈ A, либо a /∈ B. Поэтому
a ∈ U и a /∈ A, либо a ∈ U и a /∈ B. Из того, что a ∈ U и a /∈ A, следует, что
a ∈ (U\A); из того, что a ∈ U и a /∈ B, следует, что a ∈ (U\B). Таким образом,
либо a ∈ U\A, либо a ∈ U\B, а из определения объединения множеств следует,
что a ∈ (U\A) ∪ (U\B).
Аналогично доказывается второе равество.
6. Пусть произвольный элемент a ∈ (A ∩ B), по определению персечения
множеств это означает, что a ∈ A и a ∈ B, то есть a ∈ B и a ∈ A, откуда следует,
что a ∈ (B ∩ A).
Аналогично доказывается второе равество.
7. Пусть произвольный элемент a ∈ (A∩B)∩C. По определению пересечения
множеств имеем a ∈ (A ∩ B) и a ∈ C, то есть a ∈ A и a ∈ B и a ∈ C. Из
последнего высказывания следует в силу определения пересечения множеств,
что a ∈ A и a ∈ B ∩ C, поэтому a ∈ A ∩ (B ∩ C).
Аналогично доказывается второе равенство.
8. Пусть произвольный элемент a ∈ (A∪B)∩C. По определению пересечения
множеств (A∪B) и C имеем a ∈ (A∪B) и a ∈ C, а по определению объединения
множеств A и B имеем a ∈ A или a ∈ B и при этом a ∈ C. Таким образом, a ∈ A
и a ∈ C, либо a ∈ B и a ∈ C. Последнее означает, что a ∈ (A ∩ C), либо
a ∈ (B ∩C). Откуда a ∈ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C).
Аналогично доказывается второе равество.
J
Cовокупность всевозможных подмножеств универсального множества с вве-
денными операциями над ними образует алгебру множеств
1
.
1.5. Упражнения
Задание 1.1. Изобразите на числовой прямой множество точек x, удовлетво-
ряющих неравенству
1) |x − 1| + |x + 2| ≤ 3, 2) |3x + 2| + |2x − 3| ≥ 11,
3) |2x − |x − 2|| < 3, 4) |x
2
− |x
2
+ x|| > 11,
5)
√
5 − x ln |x − 3| ≤ 0, 6) cos
2
x ln (x + 1) > 0
1
Основы теории множеств были разработаны немецким математиком
Георгом Кантором (1845-1918)
12
  5. Так как A ∩ B = U \(A ∩ B), A = U \A, B = U \B, то свойство 4 можно
переписать в виде
                      U \(A ∩ B) = (U \A) ∪ (U \B).
Пусть теперь произвольный элемент a ∈ U \(A ∩ B), тогда по определению раз-
ности множеств a ∈ U и a ∈   / A ∩ B, откуда либо a ∈/ A, либо a ∈/ B. Поэтому
a ∈ U иa ∈  / A, либо a ∈ U и a ∈ / B. Из того, что a ∈ U и a ∈/ A, следует, что
a ∈ (U \A); из того, что a ∈ U и a ∈
                                   / B, следует, что a ∈ (U \B). Таким образом,
либо a ∈ U \A, либо a ∈ U \B, а из определения объединения множеств следует,
что a ∈ (U \A) ∪ (U \B).
   Аналогично доказывается второе равество.
   6. Пусть произвольный элемент a ∈ (A ∩ B), по определению персечения
множеств это означает, что a ∈ A и a ∈ B, то есть a ∈ B и a ∈ A, откуда следует,
что a ∈ (B ∩ A).
   Аналогично доказывается второе равество.
   7. Пусть произвольный элемент a ∈ (A∩B)∩C. По определению пересечения
множеств имеем a ∈ (A ∩ B) и a ∈ C, то есть a ∈ A и a ∈ B и a ∈ C. Из
последнего высказывания следует в силу определения пересечения множеств,
что a ∈ A и a ∈ B ∩ C, поэтому a ∈ A ∩ (B ∩ C).
   Аналогично доказывается второе равенство.
   8. Пусть произвольный элемент a ∈ (A∪B)∩C. По определению пересечения
множеств (A ∪ B) и C имеем a ∈ (A ∪ B) и a ∈ C, а по определению объединения
множеств A и B имеем a ∈ A или a ∈ B и при этом a ∈ C. Таким образом, a ∈ A
и a ∈ C, либо a ∈ B и a ∈ C. Последнее означает, что a ∈ (A ∩ C), либо
a ∈ (B ∩ C). Откуда a ∈ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C).
   Аналогично доказывается второе равество.
   �
   Cовокупность всевозможных подмножеств универсального множества с вве-
денными операциями над ними образует алгебру множеств 1 .

      1.5. Упражнения

  Задание 1.1. Изобразите на числовой прямой множество точек x, удовлетво-
ряющих неравенству

             1) |x − 1| + |x + 2| ≤ 3,                2) |3x + 2| + |2x − 3| ≥ 11,
             3) |2x − |x − 2|| < 3,                   4) |x2 − |x2 + x|| > 11,
                √
             5)   5 − x ln |x − 3| ≤ 0,               6) cos2 x ln (x + 1) > 0

  1
    Основы теории множеств были разработаны немецким математиком
Георгом Кантором (1845-1918)



                                                 12

Страницы