Математика. Часть 1. Карелина И.Г. - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Левосторонней ε−окрестностью точки a называют интервал
()
a
x
e
-
a
(a − ε; a) = {x ∈
R
: a − ε < x < a} =
= {x ∈
R
: −ε < x − a < 0}.
1.3. Операции над множествами
Приведем простой пример. Обозначим через A – множество студентов, не
сдавших экзамен по дисциплине А, а через B – множество студентов, не сдав-
ших экзамен по дисциплине В. Тогда множество студентов, не сдавших оба эк-
замена, состоит из студентов, вошедших одновременно в оба множества A и B;
а множество студентов, не сдавших хотя бы один экзамен, состоит из студентов,
вошедших либо во множество A, либо во множество B.
Таким образом, в первом случае мы из множеств A и B выбирали элементы,
общие для этих двух множеств, а во втором – к элементам множества A добав-
ляли те элементы множества B, которые не вошли в множество A.
Перейдем к строгим определениям.
Пересечением множеств A и B называется мно-
жество A ∩ B, состоящее из тех элементов, которые
принадлежат одновременно множеству A и множеству
B
A ∩ B = {x ∈ A и x ∈ B}.
AB
Например, пересечением множества натуральных чисел N и множества чет-
ных чисел N
2n
будет множество четных чисел: N ∩ N
2n
= N
2n
.
Множества A и B, пересечение которых пусто, называют непересекающи-
мися.
Например, N
2n−1
∩ N
2n
= ∅, то есть множества четных N
2n
и нечетных N
2n−1
чисел являются непересекающимися.
Объединением множеств A и B называется мно-
жество A ∪ B, состоящее из тех элементов, которые
принадлежат хотя бы одному из множеств A или B
A ∪ B = {x ∈ A или x ∈ B}.
A
B
Заметим, что A ∩ B ⊂ A, A ∩ B ⊂ B, A ⊂ A ∪ B, B ⊂ A ∪ B. Например,
N ∪ N
2n
= N, N
2n
∪ N
2n−1
= N.
Под разбиением множества A понимают набор A
1
, A
2
, . . . , A
n
попарно
непересекающихся множеств, объединение которых дает множество A
A =
n
[
k=1
A
k
, A
k
∩ A
i
= ∅, k 6= i.
9
  Левосторонней ε−окрестностью точки a называют интервал

 (a − ε; a) = {x ∈ R : a − ε < x < a} =               �            �
                                                     a-�           a   x
               = {x ∈ R : −ε < x − a < 0}.


  1.3. Операции над множествами

   Приведем простой пример. Обозначим через A – множество студентов, не
сдавших экзамен по дисциплине А, а через B – множество студентов, не сдав-
ших экзамен по дисциплине В. Тогда множество студентов, не сдавших оба эк-
замена, состоит из студентов, вошедших одновременно в оба множества A и B;
а множество студентов, не сдавших хотя бы один экзамен, состоит из студентов,
вошедших либо во множество A, либо во множество B.
   Таким образом, в первом случае мы из множеств A и B выбирали элементы,
общие для этих двух множеств, а во втором – к элементам множества A добав-
ляли те элементы множества B, которые не вошли в множество A.
   Перейдем к строгим определениям.

  Пересечением множеств A и B называется мно-
жество A ∩ B, состоящее из тех элементов, которые
принадлежат одновременно множеству A и множеству
                                                               A           B
B
             A ∩ B = {x ∈ A и x ∈ B}.
  Например, пересечением множества натуральных чисел N и множества чет-
ных чисел N2n будет множество четных чисел: N ∩ N2n = N2n .
  Множества A и B, пересечение которых пусто, называют непересекающи-
мися.
  Например, N2n−1 ∩ N2n = ∅, то есть множества четных N2n и нечетных N2n−1
чисел являются непересекающимися.
   Объединением множеств A и B называется мно-
жество A ∪ B, состоящее из тех элементов, которые
принадлежат хотя бы одному из множеств A или B
                                                            A       B
            A ∪ B = {x ∈ A или x ∈ B}.
  Заметим, что A ∩ B ⊂ A, A ∩ B ⊂ B, A ⊂ A ∪ B, B ⊂ A ∪ B. Например,
N ∪ N2n = N , N2n ∪ N2n−1 = N .
  Под разбиением множества A понимают набор A1 , A2 , . . . , An попарно
непересекающихся множеств, объединение которых дает множество A
                           n
                           �
                      A=         Ak ,   Ak ∩ Ai = ∅, k �= i.
                           k=1

                                          9

Страницы