Математика. Часть 3. Карелина И.Г. - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Пример
1. Покажем, что lim
n→∞
1
n
= 0.
Выберем произвольное число ε > 0 и найдем n
0
, начиная с которого для всех
членов последовательности будет выполняться неравенство
1
n
− 0
< ε.
Так как n > 0, то из неравенства
1
n
< ε мы найдем n
0
>
1
ε
.
Например, при ε = 0, 01, начиная с номера n
0
= 101 >
1
0, 01
, все члены
последовательности
1
n
n∈
N
будут удовлетворять неравенству
1
n
− 0
< 0, 01.
Таким образом, последовательность
1
n
n∈
N
является сходящейся.
2. Покажем, что последовательность {(−1)
n
}
n∈
N
не имеет предела.
Пусть a ∈
R
– произвольное число. Покажем, что найдется число ε > 0,
такое, что бесконечно много членов этой последовательности окажутся вне
ε−окрестности точки a. Пусть 0 < ε
0
< 1, тогда вне интервала (a − ε
0
; a + ε
0
).
окажется бесконечно много членов данной последовательности.
Например, пусть a = 1, ε = 0, 5. Тогда вне интервала (0, 5; 1, 5) окажутся все
нечетные члены этой последовательности.
Таким образом, последовательность {(−1)
n
}
n∈
N
является расходящейся.
Последовательность
a
n
n∈
N
называется бесконечно малой, если
lim
n→∞
a
n
= 0.
Последовательность
a
n
n∈
N
называется бесконечно большой, если
lim
n→∞
a
n
= ∞.
10.2. Свойства числовых последовательностей
Основные теоремы, касающиеся предела функции, имеют место и для после-
довательностей. Приведем их здесь без доказательства.
Теорема 1. Если последовательность имеет предел, то он единственный.
20
  Пример
                      1
  1. Покажем, что lim   = 0.
                  n→∞ n
   Выберем произвольное число ε > 0 и найдем n0 , начиная с которого для всех
членов последовательности будет выполняться неравенство
                                �     �
                                �1    �
                                � − 0� < ε.
                                �n    �

                               1                   1
Так как n > 0, то из неравенства < ε мы найдем n0 > .
                               n                   ε
                                                             1
  Например, при ε = 0, 01, начиная с номера n0 = 101 >           , все члены
                   � �                                     0, 01
                    1
последовательности         будут удовлетворять неравенству
                    n n∈N
                             �      �
                             �1     �
                             � − 0� < 0, 01.
                             �n     �
                                  � �
                                   1
Таким образом, последовательность        является сходящейся.
                                   n n∈N

   2. Покажем, что последовательность {(−1)n }n∈N не имеет предела.
Пусть a ∈ R – произвольное число. Покажем, что найдется число ε > 0,
такое, что бесконечно много членов этой последовательности окажутся вне
ε−окрестности точки a. Пусть 0 < ε0 < 1, тогда вне интервала (a − ε0 ; a + ε0 ).
окажется бесконечно много членов данной последовательности.
   Например, пусть a = 1, ε = 0, 5. Тогда вне интервала (0, 5; 1, 5) окажутся все
нечетные члены этой последовательности.
   Таким образом, последовательность {(−1)n }n∈N является расходящейся.

                         � �
   Последовательность     an n∈N       называется бесконечно малой, если
lim an = 0.
n→∞                      � �
   Последовательность     an n∈N называется бесконечно большой, если
lim an = ∞.
n→∞

  10.2. Свойства числовых последовательностей

  Основные теоремы, касающиеся предела функции, имеют место и для после-
довательностей. Приведем их здесь без доказательства.

  Теорема 1. Если последовательность имеет предел, то он единственный.

                                       20

Страницы