Математика. Часть 3. Карелина И.Г. - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Теорема 2. Предел стационарной последовательности {a
n
}
n∈
N
, где a
n
= a
для любого n, равен a.
Теорема 3. Если для всех членов последовательностей {a
n
}
n∈
N
, {b
n
}
n∈
N
,
{c
n
}
n∈
N
, имеет место неравенство a
n
≤ b
n
≤ c
n
, причем lim
n→∞
a
n
= lim
n→∞
n
= a,
то последовательность {b
n
}
n∈
N
также сходится, причем lim
n→∞
b
n
= a.
Теорема 4. Если последовательность {a
n
}
n∈
N
сходится, k = const, то после-
довательность {ka
n
}
n∈
N
также сходится, причем lim
n→∞
ka
n
= k lim
n→∞
a
n
.
Теорема 5. Если последовательности {a
n
}
n∈
N
и {b
n
}
n∈
N
сходятся и lim
n→∞
a
n
=
a, lim
n→∞
b
n
= b, то предел их суммы, разности, произведения и отношения (если
b
n
6= 0 при всех n, b 6= 0) существует и равен соответственно сумме, разности,
произведению и отношению пределов этих последовательностей.
Пример
Найдем пределы последовательностей, используя теоремы 1-5:
1) lim
n→∞
2n + 3
n
2
= lim
n→∞
n(2 +
3
n
)
n
2
= lim
n→∞
2 +
3
n
n
= 0,
так как lim
n→∞
3
n
= 0, lim
n→∞
2
n
= 0.
2) lim
n→∞
n
3
− n + 2
5n
3
− 3n + 1
= lim
n→∞
n
3
(1 −
1
n
2
+
2
n
3
)
n
3
(5 −
3
n
2
+
1
n
3
)
= lim
n→∞
1 −
1
n
2
+
2
n
3
5 −
3
n
2
+
1
n
3
=
1
5
,
так как lim
n→∞
1
n
2
= 0, lim
n→∞
2
n
3
= 0, lim
n→∞
3
n
2
= 0, lim
n→∞
1
n
3
= 0.
3) lim
n→∞
n sin
2π
n
= lim
n→∞
sin
2π
n
2π
n
· 2π
= 2π · lim
n→∞
sin
2π
n
2π
n
= 2π,
так как lim
n→∞
2π
n
= 0, lim
n→∞
sin
2π
n
2π
n
= 1.
Последовательность {a
n
}
n∈
N
называется ограниченной снизу, если все ее
члены не превосходят некоторого числа, то есть
∃(m
0
∈
R
)∀(n ∈
N
) a
n
≥ m
0
.
21
  Теорема 2. Предел стационарной последовательности {an }n∈N , где an = a
для любого n, равен a.

   Теорема 3. Если для всех членов последовательностей {an }n∈N , {bn }n∈N ,
{cn }n∈N , имеет место неравенство an ≤ bn ≤ cn , причем lim an = lim n = a,
                                                                  n→∞             n→∞
то последовательность {bn }n∈N также сходится, причем lim bn = a.
                                                              n→∞


  Теорема 4. Если последовательность {an }n∈N сходится, k = const, то после-
довательность {kan }n∈N также сходится, причем lim kan = k lim an .
                                                        n→∞                n→∞


   Теорема 5. Если последовательности {an }n∈N и {bn }n∈N сходятся и lim an =
                                                                     n→∞
a, lim bn = b, то предел их суммы, разности, произведения и отношения (если
   n→∞
bn �= 0 при всех n, b �= 0) существует и равен соответственно сумме, разности,
произведению и отношению пределов этих последовательностей.

  Пример
  Найдем пределы последовательностей, используя теоремы 1-5:

         2n + 3        n(2 + n3 )        2+       3
                                                  n
  1) lim        =  lim            =  lim              = 0,
     n→∞   n2     n→∞     n2        n→∞   n
           3          2
так как lim  = 0, lim = 0.
       n→∞ n      n→∞ n

                                      1        2                  1        2
          n3 − n + 2        n3 (1 −   n2   +   n3 )         1−    n2   +   n3    1
  2) lim              = lim 3         3        1      = lim       3        1    = ,
     n→∞ 5n3 − 3n + 1   n→∞ n (5 −         +            n→∞ 5 −                  5
                                      n2       n3 )               n2   +   n3

             1            2               3           1
так как lim    =  0,  lim    =   0,  lim    = 0,  lim    = 0.
       n→∞ n2        n→∞ n3         n→∞ n2       n→∞ n3
                          �              �
               2π           sin 2π
                                 n                    sin 2π
  3) lim n sin    = lim       2π    · 2π = 2π · lim 2π n = 2π,
     n→∞        n     n→∞
                               n
                                                  n→∞
                                                         n

            2π          sin 2π
так как lim    = 0, lim 2π n = 1.
        n→∞ n       n→∞
                           n



   Последовательность {an }n∈N называется ограниченной снизу, если все ее
члены не превосходят некоторого числа, то есть

                        ∃(m0 ∈ R)∀(n ∈ N) an ≥ m0 .

                                       21

Страницы