Математика. Часть 3. Карелина И.Г. - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Последовательность {a
n
}
n∈
N
называется ограниченной сверху, если все ее
члены не превосходят некоторого числа, то есть
∃(m
1
∈
R
)∀(n ∈
N
) a
n
≤ m
1
.
Последовательность {a
n
}
n∈
N
называется ограниченной, если все ее члены
не превосходят по абсолютному значению некоторого положительного числа, то
есть
∃(m > 0)∀(n ∈
N
) |a
n
| ≤ m.
Пример
1. Последовательность натуральных чисел является ограниченной снизу, так
как все натуральные числа не меньше числа 1.
2. Последовательность чисел, противоположных натуральным числам, явля-
ется ограниченной сверху, так как все ее члены не превосходят числа -1.
3. Последовательность {(−1)
n
}
n∈
N
является ограниченной, так как для лю-
бого n ∈ N имеет место неравенство |(−1)
n
| ≤ 1.
Теорема об ограниченности сходящейся последовательности. Если по-
следовательность имеет предел, то она ограничена.
Доказательство.
Пусть lim
n→∞
a
n
= a. В определении предела последовательности возьмем
ε = 1, тогда все члены последовательности, начиная с номера n
0
∈ N, будут
удовлетворять неравенству |a
n
− a| < 1, откуда
|a
n
| = |(a
n
− a) + a| ≤ |a
n
− a| + |a| < 1 + |a| = m.
Так как множество чисел a
1
, a
2
, . . . , a
n
0
−1
, m конечно, то среди них можно вы-
брать наибольший элемент, то есть
K = max{a
1
, a
2
, . . . , a
n
0
−1
, m}.
Тогда для всех членов последовательности {a
n
}
n∈
N
имеет место неравенство
|a
n
| ≤ K,
что и означает ее ограниченность.
J
Последовательность {a
n
}
n∈
N
называется возрастающей, если любой ее
член больше предыдущего, то есть имеет место неравенство
a
n
< a
n+1
∀(n ∈
N
).
22
   Последовательность {an }n∈N называется ограниченной сверху, если все ее
члены не превосходят некоторого числа, то есть
                          ∃(m1 ∈ R)∀(n ∈ N) an ≤ m1 .
   Последовательность {an }n∈N называется ограниченной, если все ее члены
не превосходят по абсолютному значению некоторого положительного числа, то
есть
                        ∃(m > 0)∀(n ∈ N) |an | ≤ m.

  Пример
   1. Последовательность натуральных чисел является ограниченной снизу, так
как все натуральные числа не меньше числа 1.
   2. Последовательность чисел, противоположных натуральным числам, явля-
ется ограниченной сверху, так как все ее члены не превосходят числа -1.
   3. Последовательность {(−1)n }n∈N является ограниченной, так как для лю-
бого n ∈ N имеет место неравенство |(−1)n | ≤ 1.



   Теорема об ограниченности сходящейся последовательности. Если по-
следовательность имеет предел, то она ограничена.
   � Доказательство.
   Пусть lim an = a. В определении предела последовательности возьмем
         n→∞
ε = 1, тогда все члены последовательности, начиная с номера n0 ∈ N , будут
удовлетворять неравенству |an − a| < 1, откуда
               |an | = |(an − a) + a| ≤ |an − a| + |a| < 1 + |a| = m.
Так как множество чисел a1 , a2 , . . . , an0 −1 , m конечно, то среди них можно вы-
брать наибольший элемент, то есть
                         K = max{a1 , a2 , . . . , an0 −1 , m}.
Тогда для всех членов последовательности {an }n∈N имеет место неравенство
                                      |an | ≤ K,
что и означает ее ограниченность.
   �

   Последовательность {an }n∈N называется возрастающей, если любой ее
член больше предыдущего, то есть имеет место неравенство
                               an < an+1     ∀(n ∈ N).

                                           22

Страницы