Математика. Часть 3. Карелина И.Г. - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Ряд называют сходящимся, если сходится последовательность его частич-
ных сумм {S
n
}
n∈
N
, а предел последовательности частичных сумм называют сум-
мой ряда.
Ряд называют расходящимся, если расходится последовательность его ча-
стичных сумм {S
n
}
n∈
N
.
Пример
1. Примером числового ряда является известная из школьного курса сумма
членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии (|q| < 1)
a + aq + aq
2
+ aq
3
+ ··· + aq
n
+ ··· =
∞
X
n=1
aq
n
=
a
1 − q
,
таким образом, этот ряд является сходящимся и его сумма равна
a
1−q
.
2. Исследуем ряд
∞
P
n=1
1
n(n + 1)
на сходимость.
Заметим, что общий член ряда можно переписать в виде
a
n
=
1
n(n + 1)
=
1
n
−
1
n + 1
.
Построим последовательность частичных сумм
S
1
=
1
1 · 2
,
S
2
=
1
1 · 2
+
1
2 · 3
=
1 −
1
2
+
1
2
−
1
3
= 1 −
1
3
,
S
3
=
1
1 · 2
+
1
2 · 3
+
1
3 · 4
=
1 −
1
2
+
1
2
−
1
3
+
1
3
−
1
4
= 1 −
1
4
,
. . .
S
n
=
1
1 · 2
+
1
2 · 3
+ ··· +
1
(n − 1) · n
+
1
n · (n + 1)
=
=
1 −
1
2
+
1
2
−
1
3
+ ··· +
1
n − 1
−
1
n
+
1
n
−
1
n + 1
=
= 1 −
1
n + 1
,
. . .
24
   Ряд называют сходящимся, если сходится последовательность его частич-
ных сумм {Sn }n∈N , а предел последовательности частичных сумм называют сум-
мой ряда.
   Ряд называют расходящимся, если расходится последовательность его ча-
стичных сумм {Sn }n∈N .

  Пример
   1. Примером числового ряда является известная из школьного курса сумма
членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии (|q| < 1)
                                                           ∞
                                                           �
                           2         3                 n                   a
             a + aq + aq + aq + · · · + aq + · · · =             aq n =       ,
                                                           n=1
                                                                          1−q
                                                                              a
таким образом, этот ряд является сходящимся и его сумма равна                1−q .
                    �∞     1
   2. Исследуем ряд              на сходимость.
                    n=1 n(n + 1)
   Заметим, что общий член ряда можно переписать в виде
                                            1     1   1
                               an =              = −      .
                                         n(n + 1) n n + 1
Построим последовательность частичных сумм
            1
    S1 =       ,
           1·2
                               ��         �   �
          1   1            1 1        1
                                      1
    S2 =    +    =      +    −     1−
                                  =1− ,
         1·2 2·3           2 3        2
                                      3
                      �     � �      � �     �
          1   1   1       1      1 1     1 1      1
    S3 =    +   +    = 1−     +   −   +   −    =1− ,
         1·2 2·3 3·4      2      2 3     3 4      4

    ...

             1     1               1           1
     Sn =      +      + ··· +            +            =
            1·2 2·3           (n − 1) · n n · (n + 1)
            �     � �         �         �          � �        �
                1      1 1                 1     1      1   1
           = 1−     +    −      + ··· +        −      +   −     =
                2      2 3                n−1 n         n n+1
                    1
           =1−         ,
                   n+1

    ...


                                                  24

Страницы