Математика. Часть 3. Карелина И.Г. - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

4. Пусть q > 1. Вычислим предел последовательности частичных сумм
lim
n→∞
a(1 −q
n
)
1 − q
= ∞,
так как в этом случае lim
n→∞
q
n
= ∞.
5. Пусть q < −1. В этом случае последовательность частичных сумм не имеет
предела, так как S
n
принимает то положительные, то отрицательные значе-
ния, которые по абсолютной величине стремятся к ∞, поэтому при |q| > 1
геометрический ряд расходится.
Таким образом,
∞
X
n=1
aq
n−1
=
сходится, если |q| < 1,
расходится, если |q| ≥ 1.
Ряд вида
∞
X
n=1
1
n
α
называется гармоническим рядом.
Исследуем его на сходимость при α = 1. Рассмотрим последовательность его
частичных сумм S
2
, S
4
, S
8
, . . . , S
2
n
, . . . с номерами, образующими геометриче-
скую прогрессию
S
2
= 1 +
1
2
,
S
4
= 1 +
1
2
+
1
3
+
1
4
> 1 +
1
2
+
1
4
+
1
4
= 1 + 2 ·
1
2
,
S
8
= 1 +
1
2
+
1
3
+
1
4
+
1
5
+
1
6
+
1
7
+
1
8
>
> 1 +
1
2
+
1
4
+
1
4
+
1
8
+
1
8
+
1
8
+
1
8
= 1 + 3 ·
1
2
,
. . .
S
2
n
> 1 + n ·
1
2
,
. . .
Так как lim
n→∞
S
2
n
≥ lim
n→∞
1 + n ·
1
2
= ∞, то гармонический ряд при α = 1 рас-
ходится.
26
  4. Пусть q > 1. Вычислим предел последовательности частичных сумм
                                          a(1 − q n )
                                      lim             = ∞,
                                     n→∞    1−q
     так как в этом случае lim q n = ∞.
                               n→∞

  5. Пусть q < −1. В этом случае последовательность частичных сумм не имеет
     предела, так как Sn принимает то положительные, то отрицательные значе-
     ния, которые по абсолютной величине стремятся к ∞, поэтому при |q| > 1
     геометрический ряд расходится.
   Таким образом,
                    ∞
                    �                �
                                         сходится,   если |q| < 1,
                          aq n−1 =
                                         расходится, если |q| ≥ 1.
                    n=1

   Ряд вида
                                             �∞
                                                 1
                                             n=1
                                                 nα
называется гармоническим рядом.
   Исследуем его на сходимость при α = 1. Рассмотрим последовательность его
частичных сумм S2 , S4 , S8 , . . . , S2n , . . . с номерами, образующими геометриче-
скую прогрессию
                   1
           S2 = 1 + ,
                   2
                                                    �         �
                   1 1 1     1                          1 1            1
           S4 = 1 + + + > 1 + +                          +        =1+2· ,
                   2 3 4     2                          4 4            2
                    1 1 1 1 1 1 1
              S8 = 1 ++ + + + + + >
                    2 3 4 5 6 7 8
                       �     � �         �
                    1    1 1     1 1 1 1        1
                 >1+ +    +   +   + + +    =1+3· ,
                    2    4 4     8 8 8 8        2

           ...

                         1
           S 2n > 1 + n · ,
                         2
           ...

                           �             �
                                    1
Так как lim S2n ≥ lim          1+n·          = ∞, то гармонический ряд при α = 1 рас-
        n→∞       n→∞               2
ходится.

                                               26

Страницы