Математика. Часть 3. Карелина И.Г. - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Тогда числовой ряд
∞
X
n=1
a
n
сходится (расходится) одновременно с несобственным интегралом
∞
Z
1
f(x) dx.
Используя интегральный признак, исследуем на сходимость гармонический
ряд
∞
X
n=1
1
n
α
.
Во-первых, последовательность a
n
=
1
n
α
состоит из неотрицательных чле-
нов, при α > 0 не возрастает и lim
n→∞
1
n
α
= 0.
Во-вторых, функция
f(x) =
1
x
α
неотрицательна и не возрастает при α > 0 и непрерывна на промежутке [1; ∞).
Пусть α 6= 1, рассмотрим несобственный интеграл
∞
Z
1
1
t
α
dt = lim
x→∞
x
Z
1
1
t
α
dt = lim
x→∞
t
1−α
1 −α
x
1
= lim
x→∞
x
1−α
1 − α
Последний предел равен 0, если 1 − α < 0, и ∞, если 1 − α > 0.
Поэтому несобственный интеграл, а вместе с ним гармонический ряд, сходит-
ся, если α > 1 и расходится, если α < 1.
Пусть α = 1 (в этом случае мы выше установили расходимость гармониче-
ского ряда, используя определение) рассмотрим несобственный интеграл
∞
Z
1
1
t
α
dt = lim
x→∞
x
Z
1
1
t
α
dt = lim
x→∞
ln t|
x
1
= lim
x→∞
ln x = ∞
Поэтому несобственный интеграл, а вместе с ним гармонический ряд расхо-
дится.
Таким образом,
∞
X
n=1
1
n
α
=
сходится, если α > 1,
расходится, если 0 < α ≤ 1.
28
  Тогда числовой ряд
                                           ∞
                                           �
                                                  an
                                            n=1
сходится (расходится) одновременно с несобственным интегралом
                                       �∞
                                            f (x) dx.
                                       1



  Используя интегральный признак, исследуем на сходимость гармонический
ряд
                               �∞
                                    1
                                     α
                                       .
                               n=1
                                   n
                                          1
   Во-первых, последовательность an = α состоит из неотрицательных чле-
                                         n
                                    1
нов, при α > 0 не возрастает и lim α = 0.
                               n→∞ n
   Во-вторых, функция
                                          1
                                  f (x) = α
                                         x
неотрицательна и не возрастает при α > 0 и непрерывна на промежутке [1; ∞).
   Пусть α �= 1, рассмотрим несобственный интеграл
             �∞                 �x                      �x
                  1                  1            t1−α ��         x1−α
                     dt = lim           dt = lim            = lim
                  tα      x→∞        tα      x→∞ 1 − α �      x→∞ 1 − α
                                                          1
             1                  1
   Последний предел равен 0, если 1 − α < 0, и ∞, если 1 − α > 0.
   Поэтому несобственный интеграл, а вместе с ним гармонический ряд, сходит-
ся, если α > 1 и расходится, если α < 1.
   Пусть α = 1 (в этом случае мы выше установили расходимость гармониче-
ского ряда, используя определение) рассмотрим несобственный интеграл
             �∞                 �x
                  1                  1
                     dt = lim            dt = lim ln t|x1 = lim ln x = ∞
                  tα      x→∞        t α      x→∞           x→∞
             1                  1
   Поэтому несобственный интеграл, а вместе с ним гармонический ряд расхо-
дится.
   Таким образом,
                 �∞      �
                     1     сходится,    если α > 1,
                       =
                    nα     расходится, если 0 < α ≤ 1.
                   n=1


                                             28

Страницы