Математика. Часть 3. Карелина И.Г. - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

10.4. Необходимое условие сходимости числового ряда
Теорема. Если ряд
∞
P
n=1
a
n
сходится, то lim
n→∞
a
n
= 0.
Доказательство.
В силу сходимости ряда
∞
P
n=1
a
n
его последовательность частичных сумм
{S
n
}
n∈
N
также сходится, то есть
S = lim
n→∞
S
n
= lim
n→∞
S
n−1
.
Так как S
n
= a
1
+ a
2
+ ···+ a
n−1
+ a
n
, S
n−1
= a
1
+ a
2
+ ···+ a
n−1
, то общий член
a
n
ряда можно записать в виде a
n
= S
n
− S
n−1
.
Тогда
lim
n→∞
a
n
= lim
n→∞
(S
n
− S
n−1
) = lim
n→∞
S
n
− lim
n→∞
S
n−1
= S − S = 0.
J
Следствие. Если n-ый член ряда не стремится к нулю при n → ∞, то ряд
расходится.
Пример
1. Для геометрического ряда при |q| ≥ 1 общий член ряда a
n
= aq
n
не стре-
мится к нулю, что означает расходимость соответствующего ряда, что мы и уста-
новили, используя определение сходимости числового ряда выше.
2. Исследовать на сходимость ряд
∞
P
n=1
n + 1
n + 3
.
Вычислим
lim
n→∞
n + 1
n + 3
= 1,
ряд расходится в силу следствия из необходимого условия сходимости числового
ряда.
10.5. Признаки сходимости положительных рядов
Ряд
∞
P
n=1
a
n
назовем положительным рядом, если все его члены – неотрица-
тельные числа.
Интегральный признак. Пусть последовательность неотрицательных чи-
сел {a
n
}
n∈
N
не возрастает и является бесконечно малой. Пусть невозрастающая
неотрицательная функция f(x) непрерывна на промежутке [1; ∞) и f (n) = a
n
.
27
   10.4. Необходимое условие сходимости числового ряда

                         �
                         ∞
   Теорема. Если ряд           an сходится, то lim an = 0.
                         n=1                      n→∞

   � Доказательство.
                                   �
                                   ∞
   В силу сходимости ряда                an его последовательность частичных сумм
                                   n=1
{Sn }n∈N также сходится, то есть
                                 S = lim Sn = lim Sn−1 .
                                     n→∞          n→∞

Так как Sn = a1 + a2 + · · · + an−1 + an , Sn−1 = a1 + a2 + · · · + an−1 , то общий член
an ряда можно записать в виде an = Sn − Sn−1 .
   Тогда
           lim an = lim (Sn − Sn−1 ) = lim Sn − lim Sn−1 = S − S = 0.
           n→∞        n→∞                   n→∞         n→∞
   �

  Следствие. Если n-ый член ряда не стремится к нулю при n → ∞, то ряд
расходится.

   Пример
  1. Для геометрического ряда при |q| ≥ 1 общий член ряда an = aq n не стре-
мится к нулю, что означает расходимость соответствующего ряда, что мы и уста-
новили, используя определение сходимости числового ряда выше.
                                     �∞ n+1
  2. Исследовать на сходимость ряд             .
                                     n=1 n + 3
  Вычислим
                                     n+1
                                 lim       = 1,
                                n→∞ n + 3
ряд расходится в силу следствия из необходимого условия сходимости числового
ряда.

   10.5. Признаки сходимости положительных рядов
         �
         ∞
   Ряд         an назовем положительным рядом, если все его члены – неотрица-
         n=1
тельные числа.

   Интегральный признак. Пусть последовательность неотрицательных чи-
сел {an }n∈N не возрастает и является бесконечно малой. Пусть невозрастающая
неотрицательная функция f (x) непрерывна на промежутке [1; ∞) и f (n) = an .

                                             27

Страницы