Математика. Часть 3. Карелина И.Г. - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Признак сравнения. Пусть для положительных рядов
∞
P
n=1
a
n
и
∞
P
n=1
b
n
имеет
место неравенство a
n
≤ b
n
. Тогда
1) из сходимости ряда
∞
P
n=1
b
n
следует сходимость ряда
∞
P
n=1
a
n
,
2) из расходимости ряда
∞
P
n=1
a
n
следует расходимость ряда
∞
P
n=1
b
n
.
Доказательство.
1. Обозначим через A
n
– частичные суммы ряда
∞
P
n=1
a
n
, а через B
n
– частич-
ные суммы ряда
∞
P
n=1
b
n
.
Суммируя неравенства
a
1
≤ b
1
, a
2
≤ b
2
, . . . , a
n
≤ b
n
,
получаем неравенство A
n
≤ B
n
.
Каждая из последовательностей {B
n
}
n∈
N
и {A
n
}
n∈
N
не убывает, так как каж-
дый ее член образован добавлением к предыдущему неотрицательного числа.
Кроме того, последовательность {B
n
}
n∈
N
имеет предел B, поскольку соответ-
ствующий ряд сходится по условию и, кроме того, B
n
≤ B, а значит, и A
n
≤ B
n
≤
B. По теореме о пределе неубывающей ограниченной сверху последовательно-
сти последовательность {A
n
}
n∈
N
имеет предел, откуда следует сходимость со-
ответствующего числового ряда
∞
P
n=1
a
n
.
2. В предположении противного, пусть ряд
∞
P
n=1
b
n
сходится, откуда в силу пер-
вой части утверждения следует сходимость ряда
∞
P
n=1
a
n
, что противоречит его
расходимости.
J
При решении задач удобно использовать признак сравнения в предельной
форме.
Признак сравнения в предельной форме. Если
lim
n→∞
a
n
b
n
= K 6= 0,
то ряды
∞
P
n=1
a
n
и
∞
P
n=1
b
n
сходятся и расходятся одновременно.
29
                                                                                 �
                                                                                 ∞            �
                                                                                              ∞
  Признак сравнения. Пусть для положительных рядов                                     an и         bn имеет
                                                                                 n=1          n=1
место неравенство an ≤ bn . Тогда
                      �
                      ∞                             �
                                                    ∞
1) из сходимости ряда    bn следует сходимость ряда   an ,
                                n=1                                      n=1
                                    �
                                    ∞                                           �
                                                                                ∞
2) из расходимости ряда                   an следует расходимость ряда                bn .
                                    n=1                                         n=1


  � Доказательство.
                                                                      �
                                                                      ∞
  1. Обозначим через An – частичные суммы ряда                              an , а через Bn – частич-
                                                                      n=1
                       �
                       ∞
ные суммы ряда               bn .
                       n=1

  Суммируя неравенства
                                a1 ≤ b 1 ,    a2 ≤ b 2 ,   ...,    a n ≤ bn ,
получаем неравенство An ≤ Bn .

   Каждая из последовательностей {Bn }n∈N и {An }n∈N не убывает, так как каж-
дый ее член образован добавлением к предыдущему неотрицательного числа.
Кроме того, последовательность {Bn }n∈N имеет предел B, поскольку соответ-
ствующий ряд сходится по условию и, кроме того, Bn ≤ B, а значит, и An ≤ Bn ≤
B. По теореме о пределе неубывающей ограниченной сверху последовательно-
сти последовательность {An }n∈N имеет предел, откуда следует сходимость со-
                               �
                               ∞
ответствующего числового ряда    an .
                                             n=1

                                                              �
                                                              ∞
  2. В предположении противного, пусть ряд                         bn сходится, откуда в силу пер-
                                                             n=1
                                                                     �
                                                                     ∞
вой части утверждения следует сходимость ряда                             an , что противоречит его
                                                                    n=1
расходимости.
  �
  При решении задач удобно использовать признак сравнения в предельной
форме.

  Признак сравнения в предельной форме. Если
                               an
                           lim    = K �= 0,
                          n→∞ bn

          �
          ∞            �
                       ∞
то ряды         an и         bn сходятся и расходятся одновременно.
          n=1          n=1

                                                      29

Страницы