Математика. Часть 3. Карелина И.Г. - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Признак Даламбера. Ряд
∞
P
n=1
a
n
с положительными членами
сходится, если
a
n
a
n−1
≤ q < 1, n = 1, 2, . . . ; расходится, если
a
n
a
n−1
≥ 1.
Доказательство.
Запишем общий член ряда a
n
в виде
a
n
= a
1
·
a
2
a
1
·
a
3
a
2
· ····
a
n
a
n−1
(n = 1, 2, . . . )
А. Из условия
a
n
a
n−1
≤ q < 1 следует, что
a
n
≤ a
1
q
n−1
, где q < 1.
Так как ряд
∞
P
n=1
a
1
q
n−1
сходится, то в силу признака сравнения исходный ряд
также сходится.
Б. Из неравенства
a
n
a
n−1
≥ 1 (n ∈ N) следует, что a
n
≥ a
n−1
≥ ··· ≥ a
1
≥
0 (n ∈ N). Ряд
∞
P
n=1
a
1
расходится, поэтому и исходный ряд расходится.
J
Признак Даламбера в предельной форме.
Если для ряда
∞
P
n=1
a
n
с положительными членами существует lim
n→∞
a
n
a
n−1
= K,
то при K < 1 исходный ряд сходится; при K > 1 – расходится.
Пример
1. Исследуем на сходимость ряд
∞
X
n=1
cos
2
n
n(n + 1)
Данный ряд является положительным рядом, причем для его членов справед-
ливо неравенство
cos
2
n
n(n + 1)
≤
1
n(n + 1)
.
Выше мы установили, что ряд
∞
P
n=1
1
n(n + 1)
сходится, поэтому и исходный ряд
сходится в силу признака сравнения.
2. Исследуем на сходимость ряд
∞
X
n=1
5 + 3 · (−1)
n
2
n+3
30
                                 �
                                 ∞
  Признак Даламбера. Ряд               an с положительными членами
                                 n=1
                an                                               an
сходится, если      ≤ q < 1, n = 1, 2, . . . ; расходится, если      ≥ 1.
               an−1                                             an−1
  � Доказательство.
  Запишем общий член ряда an в виде
                           a2 a3          an
                an = a 1 ·   ·   · ··· ·               (n = 1, 2, . . . )
                           a1 a2         an−1
                 an
  А. Из условия      ≤ q < 1 следует, что
                an−1
                              an ≤ a1 q n−1 ,    где q < 1.
              �
              ∞
Так как ряд         a1 q n−1 сходится, то в силу признака сравнения исходный ряд
              n=1
также сходится.
                       an
   Б. Из неравенства       ≥ 1 (n ∈ N ) следует, что an ≥ an−1 ≥ · · · ≥ a1 ≥
                      an−1
                �
                ∞
0 (n ∈ N ). Ряд   a1 расходится, поэтому и исходный ряд расходится.
                n=1
  �

   Признак Даламбера в предельной форме.
                 �∞                                              an
   Если для ряда     an с положительными членами существует lim      = K,
                 n=1                                        n→∞ an−1
то при K < 1 исходный ряд сходится; при K > 1 – расходится.

  Пример
  1. Исследуем на сходимость ряд
                                       �∞
                                            cos2 n
                                       n=1
                                           n(n + 1)
   Данный ряд является положительным рядом, причем для его членов справед-
ливо неравенство
                             cos2 n        1
                                     ≤          .
                            n(n + 1)   n(n + 1)
                              �∞     1
Выше мы установили, что ряд                сходится, поэтому и исходный ряд
                              n=1 n(n + 1)
сходится в силу признака сравнения.
   2. Исследуем на сходимость ряд
                                  ∞
                                  � 5 + 3 · (−1)n
                                   n=1
                                            2n+3

                                            30

Страницы