Математика. Часть 3. Карелина И.Г. - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Данный ряд является положительным рядом. Так как
−3 ≤ 3 ·(−1)
n
≤ 3,
2 ≤ 5 + 3 · (−1)
n
≤ 8,
2
2
n+3
≤
5 + 3 · (−1)
n
2
n+3
≤
2
3
2
n+3
,
ряд
∞
P
n=1
1
2
n
сходится, в силу признака сравнения сходится и исходный ряд.
3. Исследуем на сходимость ряд
∞
X
n=1
2n
2
+ 5n + 1
√
n
6
+ 3n
2
+ 2
Общий член ряда
a
n
=
n
2
+ 5n + 1
√
n
6
+ 3n
2
+ 2
∼
1
√
n
= b
n
при n → ∞,
причем
∞
P
n=1
1
√
n
расходится.
Вычислим
lim
n→∞
a
n
b
n
= lim
n→∞
n
2
+ 5n + 1
√
n
6
+ 3n
2
+ 2
:
1
√
n
= 1,
откуда следует расходимость исходного ряда в силу признака сравнения в пре-
дельной форме.
4. Исследуем на сходимость ряд
∞
X
n=1
2
n
n!
Для данного ряда
a
n
=
2
n
n!
, a
n+1
=
2
n+1
(n + 1)!
.
Вычислим
lim
n→∞
a
n+1
a
n
= lim
n→∞
2
n+1
(n + 1)!
:
2
n
n!
= lim
n→∞
2
n
· 2 · n!
2
n
· n! · (n + 1)
=
= lim
n→∞
2
(n + 1)
= 0 < 1,
поэтому исходный ряд сходится в силу признака Даламбера в предельной фор-
ме.
31
  Данный ряд является положительным рядом. Так как

                                     −3 ≤ 3 · (−1)n ≤ 3,
                                   2 ≤ 5 + 3 · (−1)n ≤ 8,
                               2       5 + 3 · (−1)n   23
                                     ≤               ≤ n+3 ,
                              2n+3         2n+3       2
      ∞ � �
      �  1 n
ряд         2    сходится, в силу признака сравнения сходится и исходный ряд.
      n=1
  3. Исследуем на сходимость ряд
                                     �∞
                                         2n2 + 5n + 1
                                         √
                                     n=1
                                           n6 + 3n2 + 2

  Общий член ряда
                           n2 + 5n + 1      1
                     an = √              ∼ √ = bn          при    n → ∞,
                            n6 + 3n2 + 2     n
        �∞ 1
причем      √ расходится.
        n=1  n
   Вычислим                     � 2                  �
                       an         n + 5n + 1      1
                   lim    = lim √              :√      = 1,
                  n→∞ bn    n→∞   n6 + 3n2 + 2     n
откуда следует расходимость исходного ряда в силу признака сравнения в пре-
дельной форме.
   4. Исследуем на сходимость ряд
                                           ∞
                                           � 2n
                                           n=1
                                                 n!

  Для данного ряда
                                  2n                   2n+1
                              an = ,        an+1   =          .
                                  n!                 (n + 1)!
Вычислим
                                � n+1        �
                     an+1         2       2n           2n · 2 · n!
                 lim      = lim         :      = lim n                =
                n→∞ an      n→∞ (n + 1)! n!      n→∞ 2 · n! · (n + 1)

                                   2
                          = lim         = 0 < 1,
                            n→∞ (n + 1)


поэтому исходный ряд сходится в силу признака Даламбера в предельной фор-
ме.

                                             31

Страницы