Математика. Часть 3. Карелина И.Г. - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Вычислим предел последовательности частичных сумм
lim
n→∞
S
n
= lim
n→∞
1 −
1
n + 1
= 1,
так как lim
n→∞
1
n + 1
= 0. Таким образом, ряд
∞
P
n=1
1
n(n + 1)
является сходящимся и
его сумма равна 1.
Ряд, построенный с помощью геометрической прогрессии, называется гео-
метрическим рядом
∞
X
n=1
aq
n−1
.
Исследуем на сходимость геометрический ряд в зависимости от q.
1. Пусть q = 1, тогда S
n
= a + a + ··· + a
| {z }
n слагаемых
= an.
lim
n→∞
S
n
= lim
n→∞
an = ∞,
что означает расходимость геометрического ряда при q = 1.
2. Пусть q = −1, тогда, если число слагаемых четно, то
S
2n
= a − a + a − a + ··· + a − a
| {z }
n слагаемых
= 0,
если же число слагаемых нечетно, то
S
2n−1
= a − a + a − a + ··· + a
| {z }
n слагаемых
= a,
и последовательность частичных сумм не имеет предела, что означает рас-
ходимость геометрического ряда при q = −1.
3. Пусть |q| < 1. Из школьного курса математики известна формула для вы-
числения суммы n первых слагаемых геометрической прогрессии
S
n
=
a(1 − q
n
)
1 − q
.
Вычислим предел последовательности частичных сумм
lim
n→∞
a(1 − q
n
)
1 − q
=
a
1 − q
,
так как в этом случае lim
n→∞
q
n
= 0.
Таким образом, геометрический ряд при |q| < 1 сходится и его сумма равна
a
1 − q
.
25
Вычислим предел последовательности частичных сумм
                                   �        �
                                          1
                      lim Sn = lim 1 −         = 1,
                     n→∞       n→∞      n+1

              1                            �∞     1
так как lim        = 0. Таким образом, ряд              является сходящимся и
        n→∞ n + 1                          n=1 n(n + 1)
его сумма равна 1.


  Ряд, построенный с помощью геометрической прогрессии, называется гео-
метрическим рядом
                              �∞
                                 aq n−1 .
                                       n=1
  Исследуем на сходимость геометрический ряд в зависимости от q.
 1. Пусть q = 1, тогда Sn = a
                            �+a+  ��· · · + a� = an.
                             n слагаемых
                              lim Sn = lim an = ∞,
                                 n→∞          n→∞
    что означает расходимость геометрического ряда при q = 1.
 2. Пусть q = −1, тогда, если число слагаемых четно, то

                            � − a + a − a��+ · · · + a − a� = 0,
                      S2n = a
                                   n слагаемых
    если же число слагаемых нечетно, то

                              �−a+a−
                      S2n−1 = a         ��a + · · · + a� = a,
                                   n слагаемых
    и последовательность частичных сумм не имеет предела, что означает рас-
    ходимость геометрического ряда при q = −1.
 3. Пусть |q| < 1. Из школьного курса математики известна формула для вы-
    числения суммы n первых слагаемых геометрической прогрессии
                                         a(1 − q n )
                                    Sn =             .
                                           1−q
    Вычислим предел последовательности частичных сумм
                                      a(1 − q n )    a
                                  lim             =     ,
                                 n→∞    1−q         1−q
    так как в этом случае lim q n = 0.
                           n→∞
    Таким образом, геометрический ряд при |q| < 1 сходится и его сумма равна
      a
         .
    1−q
                                             25

Страницы