Математика. Часть 3. Карелина И.Г. - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Последовательность {a
n
}
n∈
N
называется убывающей, если любой ее член
больше последующего, то есть имеет место неравенство
a
n
> a
n+1
∀(n ∈
N
).
Последовательность {a
n
}
n∈
N
называется неубывающей, если любой ее член
не меньше предыдущего, то есть имеет место неравенство
a
n
≤ a
n+1
∀(n ∈
N
).
Последовательность {a
n
}
n∈
N
называется невозрастающей, если любой ее
член не больше последующего, то есть имеет место неравенство
a
n
≥ a
n+1
∀(n ∈
N
).
Возрастающие, убывающие последовательности называют строго моно-
тонными, а невозрастающие и неубывающие последовательности называют
монотонными.
Приведем здесь без доказательства теорему, которая в дальнейшем изложе-
нии будет использоваться неоднократно.
Теорема о пределе монотонной ограниченной последовательности.
1. Если последовательность {a
n
}
n∈
N
не убывает и ограничена сверху, то она
имеет предел.
2. Если последовательность {a
n
}
n∈
N
не возрастает и ограничена снизу, то она
имеет предел.
10.3. Сходимость числового ряда
Рассмотрим последовательность {a
n
}
n∈
N
. Выражение вида
a
1
+ a
2
+ a
3
+ ···+ a
n
+ ··· =
∞
X
n=1
a
n
называют числовым рядом, a
n
– n-м (или общим) членом ряда.
Вместе с каждым рядом рассмотрим последовательность чисел {S
n
}
n∈
N
S
1
= a
1
,
S
2
= a
1
+ a
2
,
S
3
= a
1
+ a
2
+ a
3
,
. . .
S
n
= a
1
+ a
2
+ a
3
+ ··· + a
n
,
. . .
Элементы последовательности {S
n
}
n∈
N
называют частичными суммами ря-
да.
23
  Последовательность {an }n∈N называется убывающей, если любой ее член
больше последующего, то есть имеет место неравенство
                              an > an+1      ∀(n ∈ N).
   Последовательность {an }n∈N называется неубывающей, если любой ее член
не меньше предыдущего, то есть имеет место неравенство
                              an ≤ an+1        ∀(n ∈ N).
   Последовательность {an }n∈N называется невозрастающей, если любой ее
член не больше последующего, то есть имеет место неравенство
                              an ≥ an+1        ∀(n ∈ N).
  Возрастающие, убывающие последовательности называют строго моно-
тонными, а невозрастающие и неубывающие последовательности называют
монотонными.
  Приведем здесь без доказательства теорему, которая в дальнейшем изложе-
нии будет использоваться неоднократно.

  Теорема о пределе монотонной ограниченной последовательности.
  1. Если последовательность {an }n∈N не убывает и ограничена сверху, то она
имеет предел.
  2. Если последовательность {an }n∈N не возрастает и ограничена снизу, то она
имеет предел.

  10.3. Сходимость числового ряда

  Рассмотрим последовательность {an }n∈N . Выражение вида
                                                              ∞
                                                              �
                     a1 + a 2 + a 3 + · · · + a n + · · · =         an
                                                              n=1

называют числовым рядом, an – n-м (или общим) членом ряда.
   Вместе с каждым рядом рассмотрим последовательность чисел {Sn }n∈N
                          S1 = a 1 ,
                          S2 = a 1 + a 2 ,
                          S3 = a 1 + a 2 + a 3 ,
                          ...
                          Sn = a 1 + a 2 + a 3 + · · · + a n ,
                          ...
Элементы последовательности {Sn }n∈N называют частичными суммами ря-
да.

                                          23

Страницы