Математика. Часть 3. Карелина И.Г. - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Лекция 11.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
11.1. Задачи естествознания, приводящие к дифференциальным урав-
нениям
11.2. Основные понятия теории дифференциальных уравнений
11.3. Дифференциальные уравнения первого порядка
11.4. Некоторые методы решения уравнений первого порядка
11.5. Упражнения
11.1. Задачи естествознания, приводящие к дифференциальным урав-
нениям
Уравнение, связывающее независимую переменную, неизвестную функцию и
ее производные различных порядков, называется дифференциальным уравне-
нием.
Прежде чем мы перейдем к основным понятиям, используемым в теории диф-
ференциальных уравнений, ра ссмотрим задачи, возникающие в естествознании
и приводящие к нахождению функции – решению дифференциального уравне-
ния.
Задача 1 (из области геометрии). Найти кривую, проходящую через точку
M
0
(0; 1), причем в каждой точке этой кривой угловой коэффициент касательной
равен абсциссе точки касания.
Пусть y = y(x) есть уравнение кривой, обладающей указанным свойством.
Обозначим через ϕ угол между касательной к графику функции y = y(x) в каж-
дой точке M(x; y) и положительным направлением оси 0x, тогда tg ϕ = y
0
(x), а
по условию задачи tg ϕ = x, поэтому
y
0
(x) = x.
Таким образом, задача состоит теперь в том, чтобы найти неизвестную функ-
цию, производная которой связана с аргументом функции уравнением y
0
(x) = x,
то есть решить дифференциальное уравнение. Последнее уравнение можно ре-
шить непосредственным интегрированием, то есть искомая функция имеет вид
y(x) =
x
2
2
+ C,
где C – произвольная постоянная, появляющаяся в результате интегрирова-
ния. В результате решения дифференциального уравнения мы получили не одну
функцию, а целое семейство функций.
35
  Лекция 11.
  ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
  11.1. Задачи естествознания, приводящие к дифференциальным урав-
нениям
  11.2. Основные понятия теории дифференциальных уравнений
  11.3. Дифференциальные уравнения первого порядка
  11.4. Некоторые методы решения уравнений первого порядка
  11.5. Упражнения

  11.1. Задачи естествознания, приводящие к дифференциальным урав-
нениям

   Уравнение, связывающее независимую переменную, неизвестную функцию и
ее производные различных порядков, называется дифференциальным уравне-
нием.
   Прежде чем мы перейдем к основным понятиям, используемым в теории диф-
ференциальных уравнений, рассмотрим задачи, возникающие в естествознании
и приводящие к нахождению функции – решению дифференциального уравне-
ния.


   Задача 1 (из области геометрии). Найти кривую, проходящую через точку
M0 (0; 1), причем в каждой точке этой кривой угловой коэффициент касательной
равен абсциссе точки касания.
   Пусть y = y(x) есть уравнение кривой, обладающей указанным свойством.
Обозначим через ϕ угол между касательной к графику функции y = y(x) в каж-
дой точке M (x; y) и положительным направлением оси 0x, тогда tg ϕ = y � (x), а
по условию задачи tg ϕ = x, поэтому
                                  y � (x) = x.
   Таким образом, задача состоит теперь в том, чтобы найти неизвестную функ-
цию, производная которой связана с аргументом функции уравнением y � (x) = x,
то есть решить дифференциальное уравнение. Последнее уравнение можно ре-
шить непосредственным интегрированием, то есть искомая функция имеет вид
                                     x2
                              y(x) =    + C,
                                     2
где C – произвольная постоянная, появляющаяся в результате интегрирова-
ния. В результате решения дифференциального уравнения мы получили не одну
функцию, а целое семейство функций.

                                      35

Страницы