Математика. Часть 3. Карелина И.Г. - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

относительно функции y(x), описывающей закон убывания незараженных осо-
бей при эпидемии. Здесь через β обозначен коэффициент передачи инфекции.
Задача 4 (еще раз из области биологии). Рассмотрим колонию микроорга-
низмов, обитающую в в условиях неограниченных ресурсов питания, и, кроме то-
го, колония не подавляется никаким другим видом. Найти закон изменения x(t)
числа живых особей с течением времени в предположении дифференцируемости
функции x(t).
Микроорганизмы с течением времени размножаются и погибают, поэтому с
течением времени число живых микроорганизмов в колонии меняется. Обозна-
чим через x(t) число живых организмов в момент времени t, а через x(t + ∆t) –
число живых организмов в момент времени t + ∆t, тогда разность
x(t + ∆t) − x(t) = ∆x
есть приращение функции x(t) за промежуток времени от t до t + ∆t, которое
представляет собой разность между R – числом особей, родившихся за этот
промежуток времени, и S – числом особей, погибших за этот промежуток вре-
мени.
Как показывают эксперименты, величина R зависит от продолжительности
времени наблюдения, то есть от ∆t, и от числа "родителей"x линейно, то есть
R = f(x)∆t. Функция f(x), как правило, определяется экспериментально и су-
щественно зависит от изучаемого вида, причем она естественно растет с ростом
x и f(0) = 0. В самом простом случае в качестве функции f (x) берут линейную
функцию, когда численность потомства "пропорциональна"числу родителей, на-
пример, f(x) = αx , тогда R = α x ∆t. Рассуждая аналогично относительно функ-
ции S и рассматривая простейший случай, когда f (x) = αx, получим S = βx∆t.
Таким образом,
∆x = αx∆t − βx∆t.
Разделим его обе части на ∆t и перейдем к пределу при ∆t → 0. В силу диф-
ференцируемости функции x(t) получим дифференциальное уравнение
dx
dt
= εx, где εx = α − β.
Очевидно, в природе в чистом виде не существует колоний микроорганизмов с
перечисленными выше свойствами. Однако часто в целях изучения объекта рас-
сматривают его модель – упрощенную копию. Вопрос о том, насколько модель
соответствует реальной ситуации, решает экспериментальная проверка.
Последнее уравнение описывает, например, процесс перехода вещества в
раствор, то есть позволяет решать задачи из других областей естествознания.
37
относительно функции y(x), описывающей закон убывания незараженных осо-
бей при эпидемии. Здесь через β обозначен коэффициент передачи инфекции.


   Задача 4 (еще раз из области биологии). Рассмотрим колонию микроорга-
низмов, обитающую в в условиях неограниченных ресурсов питания, и, кроме то-
го, колония не подавляется никаким другим видом. Найти закон изменения x(t)
числа живых особей с течением времени в предположении дифференцируемости
функции x(t).
   Микроорганизмы с течением времени размножаются и погибают, поэтому с
течением времени число живых микроорганизмов в колонии меняется. Обозна-
чим через x(t) число живых организмов в момент времени t, а через x(t + Δt) –
число живых организмов в момент времени t + Δt, тогда разность

                           x(t + Δt) − x(t) = Δx

есть приращение функции x(t) за промежуток времени от t до t + Δt, которое
представляет собой разность между R – числом особей, родившихся за этот
промежуток времени, и S – числом особей, погибших за этот промежуток вре-
мени.
   Как показывают эксперименты, величина R зависит от продолжительности
времени наблюдения, то есть от Δt, и от числа "родителей"x линейно, то есть
R = f (x)Δt. Функция f (x), как правило, определяется экспериментально и су-
щественно зависит от изучаемого вида, причем она естественно растет с ростом
x и f (0) = 0. В самом простом случае в качестве функции f (x) берут линейную
функцию, когда численность потомства "пропорциональна"числу родителей, на-
пример, f (x) = αx, тогда R = αxΔt. Рассуждая аналогично относительно функ-
ции S и рассматривая простейший случай, когда f (x) = αx, получим S = βxΔt.
  Таким образом,
                            Δx = αxΔt − βxΔt.
  Разделим его обе части на Δt и перейдем к пределу при Δt → 0. В силу диф-
ференцируемости функции x(t) получим дифференциальное уравнение
                        dx
                           = εx,   где    εx = α − β.
                        dt
  Очевидно, в природе в чистом виде не существует колоний микроорганизмов с
перечисленными выше свойствами. Однако часто в целях изучения объекта рас-
сматривают его модель – упрощенную копию. Вопрос о том, насколько модель
соответствует реальной ситуации, решает экспериментальная проверка.
  Последнее уравнение описывает, например, процесс перехода вещества в
раствор, то есть позволяет решать задачи из других областей естествознания.

                                     37

Страницы