Математика. Часть 3. Карелина И.Г. - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

По условию задачи требуется, чтобы
искомая функция проходила через точку
M
0
(0; 1), поэтому
y(x) =
x
2
2
+ 1.
x
y
0
1
c=
0
c=
1
c=
-1
c=
-2
Задача 2 (из области физики). Пусть в момент времени t материальная точ-
ка, движущаяся прямолинейно вдоль оси 0x, принимает положение x. Пусть из-
вестна скорость движения этой точки f(t) как функция переменной t. Найти за-
кон движения материальной точки, если моменту времени t
0
соответствует по-
ложение точки x
0
.
Поскольку скорость движения материальной точки в момент времени t равна
производной x
0
(t), а по условию
x
0
(t) = f(t),
то опять приходим к дифференциальному уравнению, которое задает закон дви-
жения материальной точки в дифференциальной форме.
Задача 3 (из области биологии). Пусть в условиях эпидемии некоторое забо-
левание носит длительный характер, так что процесс передачи инфекции значи-
тельно более быстрый, чем течение самой болезни, причем будем полагать, что
зараженные особи не удаляются из колонии и передают при встрече инфекцию
незараженным особям.
Обозначим через a и b число зараженных и незараженных особей в начальный
момент времени соответственно, через x(t) и y(t) – число зараженных и неза-
раженных особей в момент времени t соответственно. Тогда для всех моментов
времени t из некоторого промежутка t ∈ [0; T ] справедливо равенство
x + y = a + b.
Число незараженных особей убывает с течением времени пропорционально ко-
личеству встреч между зараженными и незараженными особями xy. Тогда для
промежутка [t, ∆t] справедливо равенство
∆y = y(t + ∆t) − y(t) = −βxy∆t,
откуда, с учетом равенства x = −y + a + b, приходим к дифференциальному
уравнению
y
0
= −βy(a + b − y)
36
   По условию задачи требуется, чтобы                       y
искомая функция проходила через точку
M0 (0; 1), поэтому
                                                                1       c =1
                      2
                     x                                                  c=0
            y(x) =     + 1.
                     2                                              0
                                                                        c = -1   x
                                                                        c = -2




   Задача 2 (из области физики). Пусть в момент времени t материальная точ-
ка, движущаяся прямолинейно вдоль оси 0x, принимает положение x. Пусть из-
вестна скорость движения этой точки f (t) как функция переменной t. Найти за-
кон движения материальной точки, если моменту времени t0 соответствует по-
ложение точки x0 .
   Поскольку скорость движения материальной точки в момент времени t равна
производной x� (t), а по условию
                                    x� (t) = f (t),
то опять приходим к дифференциальному уравнению, которое задает закон дви-
жения материальной точки в дифференциальной форме.


   Задача 3 (из области биологии). Пусть в условиях эпидемии некоторое забо-
левание носит длительный характер, так что процесс передачи инфекции значи-
тельно более быстрый, чем течение самой болезни, причем будем полагать, что
зараженные особи не удаляются из колонии и передают при встрече инфекцию
незараженным особям.
   Обозначим через a и b число зараженных и незараженных особей в начальный
момент времени соответственно, через x(t) и y(t) – число зараженных и неза-
раженных особей в момент времени t соответственно. Тогда для всех моментов
времени t из некоторого промежутка t ∈ [0; T ] справедливо равенство
                                   x + y = a + b.
Число незараженных особей убывает с течением времени пропорционально ко-
личеству встреч между зараженными и незараженными особями xy. Тогда для
промежутка [t, Δt] справедливо равенство
                          Δy = y(t + Δt) − y(t) = −βxyΔt,
откуда, с учетом равенства x = −y + a + b, приходим к дифференциальному
уравнению
                            y � = −βy(a + b − y)

                                          36

Страницы