Математика. Часть 3. Карелина И.Г. - 38 стр.

  11.2. Основные понятия теории дифференциальных уравнений

   Дифференциальным уравнением называют уравнение, в которое помимо
неизвестной функции входят также ее производные различных порядков, а так-
же независимая переменная.
   Порядок старшей производной, входящей в дифференциальное уравнение,
называют порядком уравнения.
   Все рассмотренные выше в задачах уравнения являются уравнениями перво-
го порядка.
   Произвольное дифференциальное уравнение n-ного порядка можно записать
в виде
                       F (x, y, y � , y �� , . . . , y (n) ) = 0.
   Решением дифференциального уравнения называется функция, подстановка
которой в уравнение обращает его в тождество.
   Решая задачу 1, мы убедились в том, что дифференциальное уравнение имеет
бесконечно много решений. Решение уравнения n-ного порядка зависит в общем
случае от n произвольных постоянных C1 , C2 , . . . , Cn .
   Решение дифференциального уравнения, включающее все произвольные по-
стоянные, называется общим решением уравнения. Придавая произвольным
постоянным конкретные численные значения, мы получим решение, называемое
частным решением уравнения.
   Процесс нахождения решения уравнения называют интегрированием это-
го уравнения. График решения дифференциального уравнения называют инте-
гральной кривой.

  Пример
  1. Функция y = sin x является решением дифференциального уравнения

                                    y �� + y = 0,

в чем мы убеждаемся непосредственной подстановкой:

                          y � = cos x,   y �� = − sin x,
                          y �� + y = − sin x + sin x = 0.

                         1
  2. Функция y =             , x �= 1 является решением дифференциального уравне-
                       1−x
ния y � = y 2 , так как
                                                          �     �2
                  �      1             �   2      1          1
                 y =           ,      y −y =            −          = 0.
                      (1 − x)2                 (1 − x)2     1−x


                                         38