Математика. Часть 3. Карелина И.Г. - 40 стр.

число условий совпадает с числом произвольных постоянных, то есть равно по-
рядку дифференциального уравнения. Эту задачу называют задачей Коши.
   Большинство дифференциальных уравнений решаются приближенными ме-
тодами. Мы рассмотрим некоторые аналитические методы решения дифферен-
циальных уравнений первого порядка.

  11.3. Дифференциальные уравнения первого порядка

  Дифференциальное уравнение первого порядка можно записать в виде

                               F (x, y, y � ) = 0.

  Функция y = y(x), определенная и непрерывно дифференцируемая в интер-
вале (a; b) и обращающая уравнение в тождество

                           F (x, y(x), y � (x)) = 0,

справедливое для всех значений x ∈ (a; b), называется решением данного урав-
нения в интервале (a; b).
  Пусть дифференциальное уравнение первого порядка записано в виде, раз-
решенном относительно первой производной
                                dy
                                   = f (x, y).
                                dx
   Предположим, что мы умеем находить решение последнего уравнения, то есть
мы знаем функцию y = y(x), ее график – интегральная кривая – в точке с коор-
динатами (x; y) имеет касательную, образующую с осью 0x угол, тангенс кото-
рого равен f (x; y), его обычно называют наклоном касательной.
   Наклоны касательных можно указать, не находя интегральных кривых, в ре-
зультате получим поле направлений.

  Пример
  Рассмотрим уравнение
                                dy
                                   = x2 + y 2 ,
                                dx
его интегральные кривые пересекают ось 0x под углом ϕ, tg ϕ = x2 .
   Кривая, в каждой точке которой направление поля, определяемой дифферен-
циальным уравнением, одно и то же, называют изоклиной этого уравнения.
   Для уравнения первого порядка изоклиной является кривая с уравнением

                          f (x, y) = k,     k = const.




                                       40