Математика. Часть 3. Карелина И.Г. - 41 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

В последнем уравнении изоклинами
будут окружности с центром в начале ко-
ординат, уравнения которых
x
2
+ y
2
= k, k > 0,
Интегральные кривые в каждой точке
этой окружности наклонены к оси 0x под
углом, равным arctg k.
x
y
0
1
45
arctg 4
2
Задача Коши для уравнения первого порядка ставится так: найти решение
уравнения первого порядка, удовлетворяющее условию
dy
dx
= f(x, y), y(x
0
) = y
0
,
где x
0
, y
0
– заданные числа.
11.4. Некоторые методы решения уравнений первого порядка
Уравнения с разделяющимися переменными
Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называют
дифференциальное уравнение первого порядка, которое имеет вид
f(x)g(y)dy + h(x)r(y)dx = 0,
так что коэффициенты при dy и при dx есть произведения функций, одна из ко-
торых зависит только от y, а другая – только от x. Такое уравнение допуска-
ет "разделение"переменных – одна часть уравнения зависит от переменной y, а
другая – от x.
Будем предполагать, что все входящие в уравнение функции непрерывны при
рассматриваемых значениях y и x.
Рассмотрим вначале случай, когда f (x) 6= 0, r(y) 6= 0. В этом случае можно
обе части уравнения разделить на произведение f(x)r(y), получим уравнение
g(y)
r(y)
dy = −
h(x)
f(x)
dx.
Интегрируя, находим общее решение уравнения в виде
Z
g(y)
r(y)
dy = −
Z
h(x)
f(x)
dx + C.
41
   В последнем уравнении изоклинами                          y
будут окружности с центром в начале ко-                                       arctg 4
ординат, уравнения которых

          x2 + y 2 = k,   k > 0,                                         45

Интегральные кривые в каждой точке
                                                                 0   1        2   x
этой окружности наклонены к оси 0x под
углом, равным arctg k.




   Задача Коши для уравнения первого порядка ставится так: найти решение
уравнения первого порядка, удовлетворяющее условию
                           dy
                              = f (x, y),    y(x0 ) = y0 ,
                           dx
где x0 , y0 – заданные числа.

  11.4. Некоторые методы решения уравнений первого порядка

  Уравнения с разделяющимися переменными
  Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называют
дифференциальное уравнение первого порядка, которое имеет вид

                          f (x)g(y)dy + h(x)r(y)dx = 0,

так что коэффициенты при dy и при dx есть произведения функций, одна из ко-
торых зависит только от y, а другая – только от x. Такое уравнение допуска-
ет "разделение"переменных – одна часть уравнения зависит от переменной y, а
другая – от x.
   Будем предполагать, что все входящие в уравнение функции непрерывны при
рассматриваемых значениях y и x.
   Рассмотрим вначале случай, когда f (x) �= 0, r(y) �= 0. В этом случае можно
обе части уравнения разделить на произведение f (x)r(y), получим уравнение
                               g(y)        h(x)
                                    dy = −       dx.
                               r(y)        f (x)
  Интегрируя, находим общее решение уравнения в виде
                      �              �
                        g(y)           h(x)
                              dy = −         dx + C.
                         r(y)          f (x)

                                        41

Страницы