Математика. Часть 3. Карелина И.Г. - 43 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Подставим полученные выражения в уравнение y0 + p(x) y = f(x), получим
u
0
(x) · v(x) + u(x) · v
0
(x) + p(x)u(x)v(x) = f(x),
u(x) · v
0
(x) + v(x)(u
0
(x) + p(x)u(x)) = f(x).
Подберем функцию u(x) так, чтобы коэффициент при v(x) оказался равным
нулю, для этого решим уравнение с разделяющимися переменными u
0
(x) +
p(x)u(x) = 0 и найдем одно из его решений. Тогда приходим к уравнению
u
0
(x)·v(x) = f (x), в котором в качестве функции u(x) берут найденную на преды-
дущем шаге функцию. Последнее уравнение есть также уравнение с разделяю-
щимися переменными. Решая его, находим искомую функцию y = y(x).
Пример
Решим уравнение xy
0
− y = x
2
e
x
.
Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка, неоднородное.
Непосредственная подстановка в уравнение x = 0 показывает, что данное урав-
нение решений не имеет, поэтому деление обеих частей уравнения на x не при-
водит к потере решений. Поделим обе части данного уравнения на x, получим
y
0
−
1
x
y = xe
x
.
Сделаем замену переменных, полагая y = u(x) · v(x), получим
u
0
v + uv
0
−
1
x
uv = xe
x
,
v
0
· u + v(u
0
−
1
x
u) = xe
x
.
Подберем функцию u(x) так, чтобы коэффициент при v обратился в нуль, для
этого решим уравнение
u
0
−
1
x
u = 0,
которое является уравнением с разделяющимися переменными. Перепишем его
в виде
du
dx
=
u
x
,
в результате интегрирования получим общее решение
ln |u| = ln |x| + ln C, u = Cx.
Рассмотрим частное решение, например, при C = 1, то есть
u(x) = x.
43
Подставим полученные выражения в уравнение y� + p(x) y = f (x), получим

                u� (x) · v(x) + u(x) · v � (x) + p(x)u(x)v(x) = f (x),
                u(x) · v � (x) + v(x)(u� (x) + p(x)u(x)) = f (x).

Подберем функцию u(x) так, чтобы коэффициент при v(x) оказался равным
нулю, для этого решим уравнение с разделяющимися переменными u� (x) +
p(x)u(x) = 0 и найдем одно из его решений. Тогда приходим к уравнению
u� (x)·v(x) = f (x), в котором в качестве функции u(x) берут найденную на преды-
дущем шаге функцию. Последнее уравнение есть также уравнение с разделяю-
щимися переменными. Решая его, находим искомую функцию y = y(x).

  Пример
  Решим уравнение xy � − y = x2 ex .
  Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка, неоднородное.
Непосредственная подстановка в уравнение x = 0 показывает, что данное урав-
нение решений не имеет, поэтому деление обеих частей уравнения на x не при-
водит к потере решений. Поделим обе части данного уравнения на x, получим
                                       1
                                  y � − y = xex .
                                       x
  Сделаем замену переменных, полагая y = u(x) · v(x), получим
                                           1
                            u� v + uv � − uv = xex ,
                                           x
                                             1
                            v � · u + v(u� − u) = xex .
                                             x

   Подберем функцию u(x) так, чтобы коэффициент при v обратился в нуль, для
этого решим уравнение
                                     1
                                u� − u = 0,
                                     x
которое является уравнением с разделяющимися переменными. Перепишем его
в виде
                                   du u
                                     = ,
                                   dx x
в результате интегрирования получим общее решение

                         ln |u| = ln |x| + ln C,    u = Cx.

Рассмотрим частное решение, например, при C = 1, то есть

                                     u(x) = x.

                                         43

Страницы