Математика. Часть 3. Карелина И.Г. - 42 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Отдельно рассматривается случай, когда имеет место хотя бы одно из ра-
венств f(x) = 0, r(y) = 0.
Пример
Решим дифференциальное уравнение
x(1 + y
2
)dx + y(1 + x
2
)dy = 0.
Поскольку 1 + y
2
6= 0, 1 + x
2
6= 0, разделим обе части данного уравнения на
(1 + y
2
)(1 + x
2
), получим
x
x
2
+ 1
dx +
y
y
2
+ 1
dy = 0.
Проинтегрируем последнее уравнение, получим
Z
x
x
2
+ 1
dx +
Z
y
y
2
+ 1
dy = C,
1
2
ln |x
2
+ 1| +
1
2
ln |y
2
+ 1| = ln D
2
, ln D
2
= C,
ln ((x
2
+ 1)(y
2
+ 1)) = ln D
2
,
(x
2
+ 1)(y
2
+ 1) = D
2
.
Общее решение исходного уравнения имеет вид (x
2
+ 1)(y
2
+ 1) = D
2
.
Линейные дифференциальные уравнения
Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называют урав-
нение вида
a(x)y
0
+ b(x)y + c(x) = 0,
оно линейно относительно неизвестной функции y(x) и ее первой производной
y
0
(x), коэффициенты a(x), b(x), c(x) – заданные непрерывные функции, причем
функция a(x) предполагается отличной от нуля.
По предположению a(x) 6= 0, поделим обе части данного уравнения на a(x),
получим
y
0
+ p(x)y = f (x), где p(x) =
b(x)
a(x)
, f(x) = −
c(x)
a(x)
.
Если в последнем уравнении f (x) = 0, его называют однородным, в противном
случае – неоднородным.
Это уравнение решается методом Бернулли, который состоит в следующем.
Сделаем в последнем дифференциальном уравнении замену переменных, по-
лагая
y = u(x) · v(x), y
0
(x) = u
0
(x) · v(x) + u(x) · v
0
(x).
42
   Отдельно рассматривается случай, когда имеет место хотя бы одно из ра-
венств f (x) = 0, r(y) = 0.

  Пример
  Решим дифференциальное уравнение
                         x(1 + y 2 )dx + y(1 + x2 )dy = 0.
   Поскольку 1 + y 2 �= 0, 1 + x2 �= 0, разделим обе части данного уравнения на
(1 + y 2 )(1 + x2 ), получим
                                x          y
                              2
                                   dx + 2      dy = 0.
                             x +1        y +1
Проинтегрируем последнее уравнение, получим
               �                �
                      x               y
                          dx +            dy = C,
                   x2 + 1          y2 + 1
               1                1
                 ln |x2 + 1| + ln |y 2 + 1| = ln D 2 , ln D 2 = C,
               2                2
               ln ((x2 + 1)(y 2 + 1)) = ln D 2 ,
                 (x2 + 1)(y 2 + 1) = D 2 .

  Общее решение исходного уравнения имеет вид (x2 + 1)(y 2 + 1) = D 2 .


  Линейные дифференциальные уравнения
  Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называют урав-
нение вида
                      a(x)y � + b(x)y + c(x) = 0,
оно линейно относительно неизвестной функции y(x) и ее первой производной
y � (x), коэффициенты a(x), b(x), c(x) – заданные непрерывные функции, причем
функция a(x) предполагается отличной от нуля.
     По предположению a(x) �= 0, поделим обе части данного уравнения на a(x),
получим
                                                    b(x)               c(x)
              y � + p(x)y = f (x), где p(x) =            , f (x) = −        .
                                                    a(x)               a(x)
Если в последнем уравнении f (x) = 0, его называют однородным, в противном
случае – неоднородным.
     Это уравнение решается методом Бернулли, который состоит в следующем.
     Сделаем в последнем дифференциальном уравнении замену переменных, по-
лагая
                 y = u(x) · v(x), y � (x) = u� (x) · v(x) + u(x) · v � (x).

                                         42

Страницы