Математика. Часть 3. Карелина И.Г. - 44 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Подставим функцию u(x) = x в уравнение v
0
· u + v(u
0
−
1
x
u) = xe
x
, получим
еще одно уравнение с разделяющимися переменными xv
0
= xe
x
, решая его ана-
логично предыдущему, получим общее решение в виде
v(x) = e
x
+ C.
Тогда функция
y(x) = u(x) · v(x) = xe
x
+ Cx
есть общее решение данного уравнения.
Рассмотренные в лекции задачи, конечно, не исчерпывают всего многообра-
зия задач, решение которых сводится к решению дифференциальных уравнений.
Заинтересованный читатель может обратиться к списку литературы, приведен-
ной в конце пособия.
11.5. Упражнения
Задание 11.1. Проверьте, является ли функция y = f(x) решением данного
дифференциального уравнения
1) f(x) = 5x + 0, 5, y − xy
0
=
y
0
p
1 + (y
0
)
2
,
2) f(x) = x +
√
1 + x
2
, (xy + 1)dx = (x
2
+ 1)dy,
3) f(x) = 2x
3
,
dy
dx
−
3y
x
= 0,
4) f(x) =
2
x − 1
, (x − 1)
dy
dx
+ y = 0,
5) f(x) = (x − 2)
3
, y
0
= 3y
2
3
,
6) f(x) = 4x
3
, xy
0
= 3y,
7) f(x) = sin (x + 3), (y
0
)
2
+ y
2
= 1,
8) f(x) = x − 1, x
2
y
0
− xy = yy
0
,
9) f(x) =
√
x
3
− x, 2xyy
0
− y
2
= 2x
3
,
10) f(x) = x
2
+ e
x
, x(x − 2)y
00
− (x
2
− 2)y
0
+
+2(x − 1)y = 0,
11) f(x) =
p
1 − (x − 1)
2
, (yy
00
+ (y
0
)
2
)
2
= −y
3
y
00
,
12) f(x) = 1 −
√
x, y
000
y
0
= 3(y
00
)
2
,
44
                                                      1
Подставим функцию u(x) = x в уравнение v � · u + v(u� − u) = xex , получим
                                                      x
еще одно уравнение с разделяющимися переменными xv � = xex , решая его ана-
логично предыдущему, получим общее решение в виде

                                      v(x) = ex + C.

  Тогда функция
                         y(x) = u(x) · v(x) = xex + Cx
есть общее решение данного уравнения.

   Рассмотренные в лекции задачи, конечно, не исчерпывают всего многообра-
зия задач, решение которых сводится к решению дифференциальных уравнений.
Заинтересованный читатель может обратиться к списку литературы, приведен-
ной в конце пособия.

  11.5. Упражнения

  Задание 11.1. Проверьте, является ли функция y = f (x) решением данного
дифференциального уравнения

                                                            �               y�
           1) f (x) = 5x + 0, 5,                  y − xy = �                         ,
                                                                       1 + (y � )2
                              √
           2) f (x) = x +         1 + x2 ,        (xy + 1)dx = (x2 + 1)dy,
                                                  dy 3y
           3) f (x) = 2x3 ,                          −     = 0,
                                                  dx    x
                         2                               dy
           4) f (x) =       ,                     (x − 1) + y = 0,
                        x−1                              dx
           5) f (x) = (x − 2)3 ,
                                                                2
                                                  y � = 3y 3 ,
           6) f (x) = 4x3 ,                       xy � = 3y,
           7) f (x) = sin (x + 3),                (y � )2 + y 2 = 1,
           8) f (x) = x − 1,                      x2 y � − xy = yy � ,
                      √
           9) f (x) = x3 − x,                     2xyy � − y 2 = 2x3 ,
          10) f (x) = x2 + ex ,                   x(x − 2)y �� − (x2 − 2)y � +
                                                                    +2(x − 1)y = 0,
                        �
          11) f (x) =   1 − (x − 1)2 ,            (yy �� + (y � )2 )2 = −y 3 y �� ,
                          √
          12) f (x) = 1 − x,                      y ��� y � = 3(y �� )2 ,

                                             44

Страницы