Математика. Часть 3. Карелина И.Г. - 39 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

3. Решим дифференциальное уравнение y
000
= 1 непосредственным интегри-
рованием:
y
000
= 1,
y
00
= x + C
1
,
y
0
=
x
2
2
+ C
1
x + C
2
,
y =
x
3
6
+ C
1
x
2
2
+ C
2
x + C
3
.
Общее решение уравнения имеет вид
y(x, C
1
, C
2
, C
3
) =
x
3
6
+ C
1
x
2
2
+ C
2
x + C
3
.
Найдем частное решение уравнения, удовлетворяющее условиям
y(0) = 1, y
0
(0) = 1, y
00
(0) = 1.
Так как уравнение имеет третий порядок, то для нахождения трех произвольных
постоянных указанных условий должно быть достаточно
y(0) =
x
3
6
+ C
1
x
2
2
+ C
2
x + C
3
x=0
= C
3
= 1,
y
0
(0) =
x
2
2
+ C
1
x + C
2
x=0
= C
2
= 1,
y
00
(0) = [x + C
1
]
x=0
= C
1
= 1,
поэтому частное решение уравнения, удовлетворяющее указанным выше усло-
виям, будет имеет вид
y(x) =
x
3
6
+
x
2
2
+ x + 1.
Во многих задачах, приводящих к дифференциальным уравнениям, требует-
ся найти решение, которое вместе со своими производными принимает задан-
ные значения при фиксированном значении независимой переменной (в послед-
нем примере мы искали решение, удовлетворяющее заданным условиям в точке
x = 0). Это могут быть, например, значения самой функции и ее производных в
начальный момент x = x
0
. В общем случае начальные условия для уравнения
n-ного порядка имеют вид
y(x
0
) = y
0
,
y
0
(x
0
) = y
1
,
. . .
y
n−1
(x
0
) = y
n−1
,
39
  3. Решим дифференциальное уравнение y ��� = 1 непосредственным интегри-
рованием:
                      y ��� = 1,
                          y �� = x + C1 ,

                           �  x2
                          y =    + C1 x + C 2 ,
                               2
                              x3     x2
                          y=     + C1 + C2 x + C 3 .
                              6       2
Общее решение уравнения имеет вид
                                       x3     x2
                 y(x, C1 , C2 , C3 ) =    + C1 + C2 x + C 3 .
                                       6      2
Найдем частное решение уравнения, удовлетворяющее условиям
                      y(0) = 1,       y � (0) = 1,   y �� (0) = 1.
Так как уравнение имеет третий порядок, то для нахождения трех произвольных
постоянных указанных условий должно быть достаточно
                          � 3                      �
                           x      x2
                y(0) =        + C1 + C2 x + C 3          = C3 = 1,
                           6       2                 x=0
                          � 2              �
                           x
                y � (0) =     + C1 x + C 2       = C2 = 1,
                            2                x=0

                y �� (0) = [x + C1 ]x=0 = C1 = 1,

поэтому частное решение уравнения, удовлетворяющее указанным выше усло-
виям, будет имеет вид
                                  x3 x2
                           y(x) =     +      + x + 1.
                                   6     2
   Во многих задачах, приводящих к дифференциальным уравнениям, требует-
ся найти решение, которое вместе со своими производными принимает задан-
ные значения при фиксированном значении независимой переменной (в послед-
нем примере мы искали решение, удовлетворяющее заданным условиям в точке
x = 0). Это могут быть, например, значения самой функции и ее производных в
начальный момент x = x0 . В общем случае начальные условия для уравнения
n-ного порядка имеют вид
                               y(x0 ) = y0 ,
                                y � (x0 ) = y1 ,
                                ...
                                y n−1 (x0 ) = yn−1 ,

                                            39

Страницы