Математика. Часть 4. Карелина И.Г. - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

где определитель ∆
i
получается из определителя ∆ заменой i-го столбца на
столбец свободных членов системы.
Пример
Пользуясь правилом Крамера, решим систему линейных уравнений 4-го по-
рядка
x
2
+x
4
= 1
2x
1
−3x
3
+x
4
= 1
3x
2
+x
3
+2x
4
= 0
x
2
−x
3
= −1
Матрица и расширенная матрица этой системы имеют вид
A =
0 1 0 1
2 0 −3 1
0 3 1 2
0 1 −1 0
ˆ
A =
0 1 0 1 1
2 0 −3 1 1
0 3 1 2 0
0 1 −1 0 −1
Вычислим определитель матрицы A, разложив его по первому столбцу, так
как из четырех элементов этого столбца три равны нулю,
∆ = det A =
0 1 0 1
2 0 −3 1
0 3 1 2
0 1 −1 0
= (−1)
1+1
· 0 ·
0 −3 1
3 1 2
1 −1 0
+
+(−1)
2+1
· 2 ·
1 0 1
3 1 2
1 −1 0
+ (−1)
3+1
· 0 ·
1 0 1
0 −3 1
1 −1 0
+
+(−1)
4+1
· 0 ·
1 0 1
0 −3 1
3 1 2
= −2 · (0 + 0 − 3 − 1 − 0 + 2) = 4,
в силу правила Крамера, так как ∆ 6= 0, система имеет единственное решение.
12
где определитель Δi получается из определителя Δ заменой i-го столбца на
столбец свободных членов системы.

  Пример
  Пользуясь правилом Крамера, решим систему линейных уравнений 4-го по-
рядка
                    
                    
                           x2        +x4    =1
                    
                    
                    
                    
                     2x1       −3x3 +x4     =1
                      
                             3x2   +x3 +2x4     =0
                      
                      
                      
                      
                              x2   −x3        = −1

  Матрица и расширенная матрица этой системы имеют вид
                                                           �      
                   0 1 0 1                    0 1 0        1 �� 1
                                                           �      
                  2 0 −3 1                 2 0 −3       1 �� 1    
                                                                  
             A= 0 3 1 2
                                      Â = 
                                             0 3 1
                                                              �      
                                                        2 �� 0    
                                                                     
                                                           �      
                   0 1 −1 0                   0 1 −1       0 �� −1

  Вычислим определитель матрицы A, разложив его по первому столбцу, так
как из четырех элементов этого столбца три равны нулю,
                    �            �
                    �0 1 0 1�                     �          �
                    �            �                �          �
                    �            �                � 0  −3  1 �
                    � 2 0 −3 1 �                  �          �
                    �            �        1+1     �3 1 2�
                    �            �
       Δ = det A = �             � = (−1) · 0 · ��           �+
                    �0 3 1 2�                     �
                                                             �
                                                             �
                    �
                    � 0 1 −1 0 �
                                 �                � 1 −1 0 �
                    �            �
                         �          �                �         �
                         �1 0 1�                     �1 0 1�
                         �          �                �         �
                         �          �                �         �
                  2+1    �3 1 2�             3+1     � 0 −3 1 �
            +(−1) · 2 · �           � + (−1) · 0 · �           �+
                         �          �                �         �
                         � 1 −1 0 �                  � 1 −1 0 �
                         �          �                �         �
                         �          �
                         �1 0 1�
                         �          �
                         �          �
                  4+1    � 0 −3 1 �
            +(−1) · 0 · �           � = −2 · (0 + 0 − 3 − 1 − 0 + 2) = 4,
                         �          �
                         �3 1 2�
                         �          �

в силу правила Крамера, так как Δ �= 0, система имеет единственное решение.

                                     12

Страницы