Математика. Часть 4. Карелина И.Г. - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

14.4. Свойства определителей
В силу формулы (12) вычисление определителя произвольного порядка мо-
жет быть сведено к вычислению определителей третьего порядка. Поэтому,
сформулировав свойства для определителей произвольного порядка, их дока-
зательство приведем для определителей третьего порядка.
1. Общий множитель строки (или столбца) можно выносить за знак
определителя
a
11
a
12
. . . a
1j
. . . a
1n
. . .
ka
i1
ka
i2
. . . ka
ij
. . . ka
in
. . .
a
n1
a
n2
. . . a
nj
. . . a
nn
= k
a
11
a
12
. . . a
1j
. . . a
1n
. . .
a
i1
a
i2
. . . a
ij
. . . a
in
. . .
a
n1
a
n2
. . . a
nj
. . . a
nn
Доказательство.
Рассмотрим определитель 3-го порядка, у которого все элементы какой-
нибудь строки, например второй, имеют один и тот же множитель k
a
11
a
12
a
13
ka
21
ka
22
ka
23
a
31
a
32
a
33
= a
11
ka
22
a
33
+ a
12
ka
23
a
31
+ a
13
ka
21
a
32
−
−(a
13
ka
22
a
31
+ a
12
ka
21
a
33
+ a
11
ka
23
a
32
) =
= k [a
11
a
22
a
33
+ a
12
a
23
a
31
+ a
13
a
21
a
32
−
−(a
13
a
22
a
31
+ a
12
a
21
a
33
+ a
11
a
23
a
32
)] = k
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
J
2. Если некоторая строка (столбец) определителя представляет со-
бой сумму двух строк (столбцов), то определитель равен сумме опреде-
лителей, у которых указанная строка (столбец) равна соответствую-
15
  14.4. Свойства определителей

   В силу формулы (12) вычисление определителя произвольного порядка мо-
жет быть сведено к вычислению определителей третьего порядка. Поэтому,
сформулировав свойства для определителей произвольного порядка, их дока-
зательство приведем для определителей третьего порядка.
  1. Общий множитель строки (или столбца) можно выносить за знак
определителя

      �                                      �      �                                �
      � a11 a12     . . . a1j    . . . a1n ��       � a11 a12   . . . a1j . . . a1n ��
      �                                             �
      �                                      �      �                                �
      �             ...                      �      �           ...                  �
      �                                      �      �                                �
      �                                      �      �                                �
      � kai1 kai2   . . . kaij   . . . kain �� = k �� ai1 ai2   . . . aij . . . ain ��
      �
      �                                      �      �                                �
      �             ...                      �      �           ...                  �
      �                                      �      �                                �
      �                                      �      �                                �
      � an1 an2     . . . anj    . . . ann ��       � an1 an2   . . . anj . . . ann ��
      �                                             �

  � Доказательство.
  Рассмотрим определитель 3-го порядка, у которого все элементы какой-
нибудь строки, например второй, имеют один и тот же множитель k
         �                �
         � a11 a12 a13 �
         �                �
         �                �
         � ka21 ka22 ka23 �
         �                � = a11 ka22 a33 + a12 ka23 a31 + a13 ka21 a32 −
         �                �
         � a31 a32 a33 �
         �                �

                                 −(a13 ka22 a31 + a12 ka21 a33 + a11 ka23 a32 ) =


           = k [a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 −
                                                            �                 �
                                                            � a11 a12 a13     �
                                                            �                 �
                                                            �                 �
                                                            �                 �
           −(a13 a22 a31 + a12 a21 a33 + a11 a23 a32 )] = k � a21 a22 a23     �
                                                            �                 �
                                                            � a31 a32 a33     �
                                                            �                 �

  �
  2. Если некоторая строка (столбец) определителя представляет со-
бой сумму двух строк (столбцов), то определитель равен сумме опреде-
лителей, у которых указанная строка (столбец) равна соответствую-

                                            15

Страницы