Математика. Часть 4. Карелина И.Г. - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

щему слагаемому, а остальные стоки (столбцы) такие же, как у исход-
ного определителя
a
11
a
12
. . . a
1j
. . . a
1n
. . .
a
i1
+
i1
a
i2
+
i2
. . . a
ij
+ c
ij
. . . a
in
+ c
in
. . .
a
n1
a
n2
. . . a
nj
. . . a
nn
=
=
a
11
a
12
. . . a
1j
. . . a
1n
. . .
a
i1
a
i2
. . . a
ij
. . . a
in
. . .
a
n1
a
n2
. . . a
nj
. . . a
nn
+
a
11
a
12
. . . a
1j
. . . a
1n
. . .
c
i1
c
i2
. . . c
ij
. . . c
in
. . .
a
n1
a
n2
. . . a
nj
. . . a
nn
Доказательство.
Рассмотрим определитель 3-го порядка, у которого все элементы какой-
нибудь строки, например второй, представляют собой сумму некоторых чисел
a
2j
+ c
2j
a
11
a
12
a
13
a
21
+ c
21
a
22
+
22
a
23
+
23
a
31
a
32
a
33
=
= a
11
(a
22
+
22
)a
33
+ a
12
(a
23
+
23
)a
31
+ a
13
(a
21
+ c
21
)a
32
−
−a
13
(a
22
+ c
22
)a
31
− a
12
(a
21
+ c
21
)a
33
− a
11
(a
23
+ c
23
)a
32
) =
= [a
11
a
22
a
33
+ a
12
a
23
a
31
+ a
13
a
21
a
32
− a
13
a
22
a
31
− a
12
a
21
a
33
− a
11
a
23
a
32
] +
+ [a
1122
a
33
+ a
1223
a
31
+ a
1321
a
32
− a
1322
a
31
− a
1221
a
33
− a
1123
a
32
] =
=
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
+
a
11
a
12
a
13
21 22 23
a
31
a
32
a
33
J
16
щему слагаемому, а остальные стоки (столбцы) такие же, как у исход-
ного определителя

       �                                                        �
       � a11      a12         . . . a1j        . . . a1n        �
       �                                                        �
       �                                                        �
       �                      ...                               �
       �                                                        �
       �                                                        �
       � ai1 + i1 ai2 + i2    . . . aij + cij . . . ain + cin   �
       �                                                        �=
       �                                                        �
       �                      ...                               �
       �                                                        �
       �                                                        �
       � an1      an2         . . . anj        . . . ann        �
       �                                                        �
         �                                  � �                                      �
         � a11 a12     . . . a1j . . . a1n �� �� a11 a12        . . . a1j . . . a1n ��
         �
         �                                  � �                                      �
         �             ...                  � �                 ...                  �
         �                                  � �                                      �
         �                                  � �                                      �
         �             . . . aij . . . ain �� + �� ci1 ci2      . . . cij . . . cin ��
       = � ai1 ai2
         �                                  � �                                      �
         �             ...                  � �                 ...                  �
         �                                  � �                                      �
         �                                  � �                                      �
         � an1 an2     . . . anj . . . ann �� �� an1 an2        . . . anj . . . ann ��
         �

   � Доказательство.
   Рассмотрим определитель 3-го порядка, у которого все элементы какой-
нибудь строки, например второй, представляют собой сумму некоторых чисел
a2j + c2j
          �                             �
          � a11       a 12     a 13
                                        �
          �                             �
          �                             �
          � a21 + c21 a22 + 22 a23 + 23 �
          �                             �=
          �                             �
          � a31       a 32     a 33
                                        �
          �                             �

           = a11 (a22 + 22 )a33 + a12 (a23 + 23 )a31 + a13 (a21 + c21 )a32 −
           −a13 (a22 + c22 )a31 − a12 (a21 + c21 )a33 − a11 (a23 + c23 )a32 ) =

   = [a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 − a13 a22 a31 − a12 a21 a33 − a11 a23 a32 ] +
   + [a1122 a33 + a1223 a31 + a1321 a32 − a1322 a31 − a1221 a33 − a1123 a32 ] =
     �                � �                  �
     � a11 a12 a13 � � a11 a12 a13 �
     �                � �                  �
     �                � �                  �
     � a21 a22 a23 � � 21 22 23 �
   =�                 �+�                  �
     �                � �                  �
     � a31 a32 a33 � � a31 a32 a33 �
     �                � �                  �

  �

                                             16

Страницы