Математика. Часть 4. Карелина И.Г. - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

4. Если определитель имеет две одинаковых строки (столбца), то он
равен нулю
a
11
a
12
. . . a
1j
. . . a
1n
. . .
a
i1
a
i2
. . . a
ij
. . . a
in
. . .
a
i1
a
i2
. . . a
ij
. . . a
in
. . .
a
n1
a
n2
. . . a
nj
. . . a
nn
= 0
Доказательство.
Рассмотрим определитель 3-го порядка, у которого вторая и третья строки
одинаковые
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
21
a
22
a
23
= a
11
a
22
a
23
+ a
12
a
21
a
23
+ a
13
a
21
a
22
−
−(a
13
a
22
a
21
+ a
11
a
22
a
23
+ a
12
a
21
a
23
) = 0
J
5. Определитель, имеющий строку (столбец), состоящую из нулей, ра-
вен нулю
i − ая строка
a
11
a
12
. . . a
1j
. . . a
1n
. . .
a
i−11
a
i−12
. . . a
i−1j
. . . a
i−1n
0 0 . . . 0 . . . 0
a
i+11
a
i+12
. . . a
i+1j
. . . a
i+1n
. . .
a
n1
a
n2
. . . a
nj
. . . a
nn
= 0
18
  4. Если определитель имеет две одинаковых строки (столбца), то он
равен нулю
                    �                             �
                    � a11 a12 . . . a1j . . . a1n �
                    �                             �
                    �                             �
                    �         . . .               �
                    �                             �
                    �                             �
                    � ai1 ai2 . . . aij . . . ain �
                    �                             �
                    �                             �
                    �         . . .               �
                    �                             �=0
                    �                             �
                    � ai1 ai2 . . . aij . . . ain �
                    �                             �
                    �                             �
                    �         . . .               �
                    �                             �
                    �                             �
                    � a a ... a ... a �
                    � n1 n2          nj        nn �



  � Доказательство.
  Рассмотрим определитель 3-го порядка, у которого вторая и третья строки
одинаковые
           �             �
           � a11 a12 a13 �
           �             �
           �             �
           � a21 a22 a23 �
           �             � = a11 a22 a23 + a12 a21 a23 + a13 a21 a22 −
           �             �
           � a21 a22 a23 �
           �             �

                             −(a13 a22 a21 + a11 a22 a23 + a12 a21 a23 ) = 0

  �
  5. Определитель, имеющий строку (столбец), состоящую из нулей, ра-
вен нулю

                         �                                          �
                         �   a11   a12     . . . a1j    . . . a1n   �
                         �                                          �
                         �                                          �
                         �                 ...                      �
                         �                                          �
                         �                                          �
                         �   ai−11 ai−12 . . . ai−1j . . . ai−1n    �
                         �                                          �
                         �                                          �
                         �   0     0       ... 0        ... 0       �
           i − ая строка �                                          �=0
                         �                                          �
                         �   ai+11 ai+12 . . . ai+1j . . . ai+1n    �
                         �                                          �
                         �                                          �
                         �                 ...                      �
                         �                                          �
                         �                                          �
                         �   an1   an2     . . . anj    . . . ann   �
                         �                                          �



                                         18

Страницы