Математика. Часть 4. Карелина И.Г. - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

3. Если поменять местами две строки (столбца) определителя, то
определитель изменит знак на противоположный
a
11
a
12
. . . a
1j
. . . a
1n
. . .
a
i1
a
i2
. . . a
ij
. . . a
in
. . .
a
k1
a
k2
. . . a
kj
. . . a
kn
. . .
a
n1
a
n2
. . . a
nj
. . . a
nn
= −
a
11
a
12
. . . a
1j
. . . a
1n
. . .
a
k1
a
k2
. . . a
kj
. . . a
kn
. . .
a
i1
a
i2
. . . a
ij
. . . a
in
. . .
a
n1
a
n2
. . . a
nj
. . . a
nn
Доказательство.
Рассмотрим определитель 3-го порядка, у которого третья и вторая строки
поменялись местами
a
11
a
12
a
13
a
31
a
32
a
33
a
21
a
22
a
23
= a
11
a
23
a
32
+ a
12
a
21
a
33
+ a
13
a
22
a
31
−
−(a
13
a
21
a
32
+ a
11
a
22
a
33
+ a
12
a
23
a
31
) =
= − [a
11
a
22
a
33
+ a
12
a
23
a
31
+ a
13
a
21
a
32
−
−(a
13
a
22
a
31
+ a
12
a
21
a
33
+ a
11
a
23
a
32
)] = −
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
J
17
  3. Если поменять местами две строки (столбца) определителя, то
определитель изменит знак на противоположный

       �                                �    �                                  �
       �   a11 a12 . . . a1j . . . a1n ��    �     a11 a12 . . . a1j . . . a1n ��
       �                                     �
       �                                �    �                                  �
       �           ...                  �    �             ...                  �
       �                                �    �                                  �
       �                                �    �                                  �
       �   ai1 ai2 . . . aij . . . ain ��    �     ak1 ak2 . . . akj . . . akn ��
       �                                     �
       �                                �    �                                  �
       �           ...                  �    �             ...                  �
       �                                � = −�                                  �
       �                                �    �                                  �
       �   ak1 ak2 . . . akj . . . akn ��    �     ai1 ai2 . . . aij . . . ain ��
       �                                     �
       �                                �    �                                  �
       �           ...                  �    �             ...                  �
       �                                �    �                                  �
       �                                �    �                                  �
       �   an1 an2 . . . anj . . . ann ��    �     an1 an2 . . . anj . . . ann ��
       �                                     �


  � Доказательство.

  Рассмотрим определитель 3-го порядка, у которого третья и вторая строки
поменялись местами

              �                �
              � a11 a12 a13    �
              �                �
              �                �
              � a31 a32 a33    �
              �                � = a11 a23 a32 + a12 a21 a33 + a13 a22 a31 −
              �                �
              � a21 a22 a23    �
              �                �


                                 −(a13 a21 a32 + a11 a22 a33 + a12 a23 a31 ) =



            = − [a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 −

                                                              �                  �
                                                              � a11 a12 a13      �
                                                              �                  �
                                                              �                  �
                                                              �                  �
             −(a13 a22 a31 + a12 a21 a33 + a11 a23 a32 )] = − � a21 a22 a23      �
                                                              �                  �
                                                              � a31 a32 a33      �
                                                              �                  �

  �




                                             17

Страницы